A Unifying Goal In Future Science

- Geschikt voor degenen,

die niet alleen willen geloven en weten,

maar ook willen begrijpen

en

zich kunnen openstellen voor

“ De Grote Leermeester “

“ The most beautiful and profound Emotion we can

experience is the sensation of the Mystical.

It is at the root of all true Science “

    A. Einstein

ABOUT ROLAND PUYSTJENS ( 1944 - )

He belonged to the academic staff of Pure Mathematics in the Faculty of Sciences at the University of Ghent and was an invited professor at the Universities of Coimbra, Lisbon, Braga and Brigham Young. He visited many Universities and attended many International Conferences.

In the late sixties he received a letter from sir R. Penrose , which contained results on “ A generalized inverse for matrices over the complex numbers “ and started generalizing these results for matrices over general rings and, more general, for morphisms in general categories.

From then on, he published many international papers about generalized invertibility, the system of von Neumann – Penrose equations and the system of Drazin equations , mainly in The Journal of Linear Algebra and its Applications but also in Linear and Multilinear Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra, and Communications in Algebra.

He was and is still strongly interested in the search of a

“ Unifying Approximation Philosophy “, hidden in Eastern- and Western Philosophies and mirrored by his algebraic categorical results about von Neumann – Penrose regularity.

Inleiding : Over Menselijke Kennis

Confucius, Russel, Escher, Grothendieck, Lutz, Kant, Bronowski, Penrose, von Neumann, Wigner, von Schiller, Daksha, Aditi, Hawking, Einstein, Magritte, Whitehead.

I. Eugene Wigner´s oproep : a unifying goal to mankind

Wigner, Aristoteles, Newton, Einstein, Heisenberg, Bohr, de Broglie, Ohsawa, Bell,

von Neumann, Gödel, Rosario, Kierkegaard, Gauss, Hamilton, Cantor, Dedekind, Galois,

Hilbert, Poincaré, Grothendieck, Fermat, Wiles, Whitehead, Turok, Hawking, Abraham,

Thales, Anaximander,Pythagoras, Philolaus, Plato, Descartes, Leibniz, Nagarjuna,

Bohm, Boeddha, Gauss, Piaget, Fu-hsi, Weyl, Minkowsky, Kaluza, Klein,Gell-Mann,

Philolaus, Kuschi, Russell, Struik, Abel, Meyes, Jackon, Pagels, Wheeler, Smolin, Born,

Dijkgraaf, Wolff, Haselhurst, Penrose, Gefter, David-Neel, Yongden, Edwards, Belderis,

Emerson, Maxwell, Guénon, Baumgarten, von Schiller, Vervaet, Sadhguru, Bashiri, Dator,

Braeckman, Fuller, Johnsen, Tolle, Jäger, Quarch, Walher, Radin,

Mtchelle,Tononi, Sheldrake, Unger, Laszlo

II. Over oneindigheid, onenigheid en ongeloof: Cantor – concentratie

Cantor, Dedekind, Thales, Anaximander, Nietzsche, Pythagoras, Roggemans,

Leibniz, Philolaus, Wiles, Plato, Blake, Aristoteles, Penrose, Escher, Grohe,

Euclides, Gauss, Descartes, Cantor, Unger, Kant, Einstein, Hawking, Swaab, Laplasse,

Rutten, Susskind, Cusanus, Bruno, Galileo, Kronecker, Weyl, Brouwer, Poincaré,

Wittgenstein, Weierstrass, Hilbert, Hazleton, Abraham, Whitehead, Oosthout, Confucius,

Tolle, Gödel, Eckhart, Madawar, Diadochus, Khayyäm, Playfair, Wissinck, Mulder,

Pitici, Sommerville, Möbius, Kushi, Stevin, Dijksterhuis, Stampion d´Jonghe, Huygens,

Spinoza, Newton, Leibniz, Euler, Parmenides, Nishida, Orpheus, Black, Lao Tse,

Kierkegaard, Mandelbrot, Montesquieu, Pascal, Blavatsky, Grün, Barbour,

Taggert, Tegmark, Aguirre, Ellis, Hagelin,…

III. Van onenigheid naar onzekerheid : Boeddha - Cantor – Gauss – tijd

Shiran, Whitehead, Hilbert, Nietzsche,Gödel, Bronowski, Russell, Bombieri,

Voevodsky, Einstein, Bohr, Nishida, Heisenberg, Orpheus, Minkowski, Smolin, Unger,

Gauss, Hawking, Boeddha, Cantor, Plato, Blake, Hamilton, Kaluza, Klein, Basho,

Aristoteles, Kant, Einstein, Ohsawa, Kushi, Heraclitus, von Cusanus, Kierkegaard, Omnès,

Faris, Wick, Gibran, Dawkins, Pythagoras, Tong, Eudemus, Hamilton, Dijkgraaf,

Ringström, Penrose, Hartle, Heidegger, Hermsen, Berlioz, Bloch, Weyl, Atiyah,

Leibniz, Maxwell, Klein, Baert …

IV. Over niet – commutativiteit, voluties en Categorieën :

Minkowski, Hamilton, du Sautoy, Hilbert, Heisenberg, von Neumann, Fowler, Dirac, Cantor, Grothendieck, Euler, Penrose, Drazin, Boeddha, Hawking, Wittgenstein, Stiekema, Plotinus, Proclus, Piaget, Bauval, Bohr, Mersenne, Turok, Pythagoras, Kant, Rorty, Dewey, Cartan, Eilenberg, Maclane, Magritte, Newton, Galilei, de Broglie, Knus, Merkurjev, Rost, Tignol, Tits, Desargues …

V. Van onzekerheid naar benadering : Gauss - von Neumann – Penrose

Pythagoras, Gödel, Plato, Einstein, Piazzi, Gauss, Wilczek, Feynman, Plato,

Penrose, von Neumann, Puystjens, Robinson, Baggott, Lincoln, Dirac, Pascal, Huygens, Gregory, Newton, Leibniz, Kleiner, Cuny, v.d.Velde, Harari, Al-Chwarizmi, Euclides, Byron, Turing, Church, Moore, …

VI. Over kosmische complementaire dualiteit : van BIG - BANG naar YIN – YANG

Heraclitus, Thales, Lemaitre, Bruno, Penrose, Gurzadyan, Johnson, Coles, Moss,

Scott, Zibin, Pythagoras, Fuller, Saint-Exupery, Schmidt, Newton, Aristoteles,

Euclides, Plato, Du Sautoy, Descartes, Cantor, Heisenberg, Bohr, Pauli, Bohm,

Hiley, Haselhurst, Rilke, Kaku, Gupta…

VII. Logische- en niet logische paden naar universele basiswetten : von Neumann regularity and going beyond

Grothendieck, Laslo, von Neumann, Penrose, Gauss, Gödel, Einstein, Piaget, Herstein, Whitehead, Muelle, Tegmark, Aquirre, Templeton, Radin, Campbell, Hoffman, Haier, Edelman, Tononi

“ Wie oude kennis koestert en voortdurend nieuwe vergaart, mag een leraar van anderen zijn ”

Confucius

De belangrijke Britse letterkundige, filosoof, logicus en wiskundige Nobelprijswinnaar B.Russel (1872 – 1970) maakte in zijn boek,

“ De problemen van de filosofie” in 1912 een onderscheid tussen “kennis via vertrouwdheid” en “kennis via beschrijving” …

Onder de vele soorten menselijke kennis is er “nieuwe kennis”.

Laten we het daarover hebben …

De wiskundige graficus M.C.Escher ( 1898 – 1972 ) vertelde

erover met een wonderlijke beeldspraak :

“ … lang geleden kwam ik op een zwerftocht toevallig in de buurt van een domein ; ik zag een hoge muur en, omdat ik

een voorgevoel had van iets raadselachtigs, iets verborgens wat daarachter zou kunnen liggen, klom ik er met moeite overheen.

Maar aan de andere kant kwam ik terecht in een wildernis,

waardoor ik mij ten koste van veel inspanning een weg moest

banen, totdat ik langs omwegen aan de open poort kwam, aan

de Open Mathematische Poort. Vandaaruit lopen goed

gebaande paden in allerlei richtingen en sindsdien vertoef ik er dikwijls en telkens opnieuw. Soms denk ik dat ik het hele

domein doorkruist heb, dat ik alle paden betreden heb en alle vergezichten bewonderd, en dan vind ik opeens weer een

nieuwe weg en smaak ik een nieuwe verrukking …

Ik loop er moederziel alleen rond, in die prachtige tuin, die

geenszins mijn eigendom is en waarvan de poort wijd open staat

voor iedereen ; ik vertoef er in verkwikkende, maar ook

drukkende eenzaamheid. Daarom getuig ik al jaren lang van het bestaan van dit lustoord en daarom stel ik dit boek samen uit

beelden en woorden, zonder overigens te verwachten dat er veel wandelaars zullen komen. Want wat “ mij “ boeit en wat “ ik ” als schoonheid ondervind, achten anderen blijkbaar dikwijls saai en

droog …”

Uit het prachtig boek “ Leven en werk van M.C.Escher, J.L.Locher Meulenhoff Amsterdam, 1981.

Zie ook de recente film van de regisseur Robin Lutz ( 2018 ) …

M.C.Escher : Het Oneindige Zoeken

Bij het verwerven van “nieuwe kennis” omtrent de Werkelijkheid

staat het je vrij om “het denken” er al of niet bij te betrekken …

I.Kant noemde bepaalde denkvormen waarmee we de

Werkelijkheid of Wereld ordenen, categorieën en

verklaarde :

“ Het zijn de categorieën van het denken die de

Werkelijkheid-Zoals-Ze-Ons-Voorkomt, bepalen “.

Maar, hoe komt het dat we bewust worden van “ nieuwe categorieën van denken ” bij nieuwe ervaringen met de Werkelijkheid ? …

Is het door onze drang naar “going beyond ” waarover Alexander Grothendieck verklaarde :

“ It is in this gesture of "going beyond ", to be something in oneself rather than the pawn of a consensus, the refusal to stay within a rigid circle that others have drawn around one - it is in this solitary act that one finds true creativity. All other things follow as a matter of course.

Niet te verwonderen dat volgens J.Bronowski menselijke kennis persoonlijk en verantwoordelijk is, een nooit eindigend avontuur op de rand van onzekerheid….

Zo´n nooit eindigend avontuur werd bij mij versneld door een bijzonder sterk verlangen om een resultaat van sir R. Penrose omtrent von Neumann regulariteit tot in een zeer abstracte vorm te veralgemenen. Deze lange maar boeiende periode resulteerde in een besef dat de abstracte keuzes die ik ervoor moest maken en zinvol bleken te zijn, geleid werden door een gevoel van schoonheid die er op een of andere manier bij betrokken leek te zijn.

Dat besef bracht me, bij het lezen van de oproep tot

“ a unifying goal to mankind ” van de wiskundige kernfysicus en Nobelprijswinnaar Eugene Wigner naar de gedachte dat, misschien ook hier, schoonheid sturend zou kunnen zijn bij mijn zoektocht daaromtrent.

Tijdens die abstracte zoektocht blijkt inderdaad ook een sturende sublieme schoonheid aanwezig te zijn omtrent een samenhang en overgang tussen eindig en oneindig of noem het begrensd en onbegrensd of bestaand en onbestaand…

Maar, is dat soms niet de sturende sublieme schoonheid behorende bij “het Zijn“ om “ Iets te Zijn “ , ons bewust gemaakt door J.C.F. von Schiller met zijn verzoenende

“ Speeldrift “ tussen “ Vormdrift “ en “ Stofdrift “ , en wellicht behorende bij onze … “ Insatiable desire for Arts ” ?

Is het mogelijk om over zo´n bewustvorming een begrijpelijk verhaal te maken, tot een abstract model ervan te komen en zijn waarde te toetsen aan de Werkelijkheid ?

Aan de verleiding om het te proberen kon ik blijkbaar niet meer weerstaan, wellicht omdat die bewustvorming een flitsende realisatie was van “ Niet-Zijn en Zijn in de hoogste hemel, in de geboorteplaats van Daksha, in de Schoot van Aditi ” ….

Uit mijn verhaal moet blijken dat die bewustvorming kadert in de belangrijke bewustvorming van S.Hawking “ dat we enkel maar kunnen zoeken naar geschikte modellen voor De Werkelijkheid ” en de belangrijke bewustvorming van de Nobelprijswinnaar A. Einstein “ dat we enkel maar kunnen streven naar het ontdekken van een Benaderde Werkelijkheid ”.

In die optiek lijkt mijn zoektocht naar “ a Unifying Goal in Future Science “ dan ook zeer sterk op

“ a pursuit of spiritual understanding of Reality “

m.a.w. naar een

“ Abstract Model voor een Benaderde Werkelijkheid “,

waarbij de weg en gids een gevoel van schoonheid is, door kunstenaars soms flitsend tot expressie gebracht en op een verbluffend eenvoudige wijze geschilderd werd door de dichter van het beeld René Magritte, in het werk met als titel “ Les Idées claires “….

Indien u echter zou twijfelen aan de waarde van abstracte modellen, dan komt dat wellicht omdat u nooit hoorde over het paradoxal dictum van de belangrijke theoloog, filosoof, natuur-en wiskundige logicus A.N. Whitehead :

“ The utmost abstractions are the true weapons

with which to control our thought of concrete fact ”

Zo´n “utmost abstraction“ blijkt, in mijn Kennisleer,

“ von Neumann regularity ” te zijn,

waarbij bewustvormingen van C.F.Gauss en van R.Penrose

aanleiding kunnen geven tot

“ A Unifying Approximation Philosophy “ …

"Harmonische patronen, weerklinkend uit het Ene, liggen aan de basis van alle verschijnselen"

Pythagoras

Lang geleden verkondigde Pythagoras reeds dat Wiskunde met Theologie moet verbonden worden en de grondslag is van Natuurkunde en Esthetica.

Blijkbaar zijn we daar nog altijd mee bezig …

De wiskundige kernfysicus en Nobelprijswinnaar Eugene Wigner (1902-1995) was overtuigd van “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“

en drukte dit ook uit als volgt :

“ The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better of for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.”

Zie ook www. Wigner, Eugene Paul, What-When-How, In Depth Tutorials and Information.

Je zou je kunnen afvragen waarom Eugene Wigner uiteindelijk ook de volgende belangrijke oproep lanceerde :

“ The promise of future science is to furnish a unifying goal to mankind rather than merely the means to an easy life, to provide some of what the human soul needs in addition to bread alone “.

Wellicht omdat :

De vorige eeuw ons heel bewust maakte van de nefaste gevolgen van misbruik van een Westers dualistisch denken in de wetenschap, mede gecreëerd door een geestelijke erfenis van Aristoteles – Newton – Einstein. Maar, terzelfder tijd ontstonden er belangrijke nieuwe bewustwordingen, mede onder impuls van A.Einstein (1879-1955).

Nieuwe resultaten in de sub-atomaire wereld verwekten een nieuwe richting in de Natuurkunde nl. de kwantummechanica, die de autoriteit van Einstein deed wankelen. Zijn filosofische overtuiging van het bestaan van een in zekerheid gewortelde objectieve werkelijkheid, die hoe dan ook bestaat of we die nu konden waarnemen of niet, kwam in botsing met de nieuwe sub-atomaire waarnemingen. Zijn basis van wetenschap was om wetten te ontdekken die oorzaken en gevolgen nauwgezet volgen en zekerheid bieden. Maar zijn determinisme kwam op de helling te staan. Hij trachtte zijn gelijk te bewijzen door een succesvolle verenigde veldtheorie te ontwikkelen, waarin hij niet slaagde. Uiteindelijk beweerde hij dat kwantummechanica wel niet verkeerd maar toch onvolledig is….

De Kopenhaagse interpretatie van kwantummechanica onder leiding van de Nobelprijswinnaars W. Heisenberg (1901 – 1976) en Niels Bohr (1885 – 1962 ) werd meer en meer bevestigd. Het onvermogen om een zgn. “onderliggende werkelijkheid” te kennen betekende dat er geen strikt determinisme in de klassieke zin van het woord is. Er is niet één onderliggende werkelijkheid die los staat van onze waarneming … Indeterminisme lijkt noodzakelijk.

In die periode kwam de Nobelprijswinnaar Louis de Broglie (1892 -1987) met een voor hem eenvoudig besluit :

“ Elk fysisch verschijnsel heeft een deeltjes karakter en een golf karakter …”

Voor velen was dit onbegrijpelijk maar niet voor de Japanner G.Ohsawa (1893 – 1966) die toen de wereld rond reisde, waaronder Frankrijk, om een zeer oude Oosterse filosofie onder de aandacht te brengen van de westerling nl. dat ALLES een YIN-karakter en een YANG-karakter heeft en hoe bepalend de harmonie-eenheid ervan is, (1).

De Nobelprijswinnaar Niels Bohr had een diep respect voor deze Oosterse filosofie die ongetwijfeld zijn bewustzijn omtrent de subatomaire wereld mee bepaalde. Het was John Stuart Bell ( 1929 – 1990 ) die in 1964 kon aantonen dat Niels Bohr´s subatomaire filosofie beter aansluit bij de subatomaire waarnemingen. Hij verklaarde : “ Bohr was inconsistent, unclear wilfully obscure and right …. Einstein was consistent, clear-down-to-earth and wrong “.

Naast die geleidelijke bewustvorming van indeterminisme ontstond de door von Neumann (1903-1957) bestempelde

“grootste logische ontdekking sinds lange tijd “ door Kurt Gödel (1906-1978) die niet alleen de grenzen van de wiskunde aftastte maar ook een diepe impact had op de vele bestaande filosofische beschouwingen. Eenvoudig gesteld komt het neer op een verschil tussen “waarheid” en “bewijsbaarheid” met o.a. “niet alle ware stellingen kunnen formeel bewezen worden”, (2). De gevolgen van de onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn voor de wetenschap en de filosofie enorm en moeilijk volledig in te schatten maar verwekken zonder twijfel onzekerheid.

Niet te verwonderen dat S.Kierkegaard (1813 – 1855) stelde dat : “ De waarheid is aan elk individu eigen en voor elk individu anders “.

Zie ook Kurt Gödel´s Mathematical and Scientific Perspective of the Divine : A Rational Theology, by Hector Rosario in Metanexus, 2007.

Voorafgaand aan de nieuwe bewustwordingen in de Logica en de Natuurkunde was er een tsunami van andere

bewustwordingen in de Wiskunde waaronder de Hoofdstelling van de Algebra, de kleinste kwadraten methode en

de niet-Euclidische meetkunde van C.F.Gauss (1777 – 1855);

de niet-commutatieve quaternionen van W.R.Hamilton (1805 – 1865) en inzichten van G.Cantor (1845 – 1918) en R.Dedekind (1831 – 1916) omtrent oneindigheid.

Zo ontstond er een heel andere manier van denken in de Algebra, een meer gestructureerd en abstract denken, mede gevormd door het verbazende nieuw inzicht van de jonge E.Galois ( 1811 – 1832 ). Dit gaf dan aanleiding tot de universele algebra , algebraïsche meetkunde, operatoren theorie, algebraïsche topologie en categorie theorie , met D.Hilbert (1862-1943) , H. Poincaré (1854 – 1912) en J.von Neumann (1903 – 1957) als spilfiguren en Alexandre Grothendieck (1928-2014) als de“mathématicien singulier et mythique “. Hymann Bass verklaarde : “ Grothendieck changed the landscape of Mathematics with a viewpoint that is … cosmically general ” , (3).

Uiteindelijk blijkt nu dat het zoeken van natuurkundigen naar een “Theorie van Alles” en naar Big - Bang theorieën, grote verdeeldheid zaait onder de wetenschappers. Bovendien ontstaat het besef dat vele nieuwe theorieën zeer complex geworden zijn, denk o.m. aan de string-theorie en aan de uitbreiding van de werkelijke naar imaginaire tijd van Stephen Hawking…..

Ook de recente, uiterst complexe, oplossing van het meer dan 300 jaar oude en eenvoudige wiskunde probleem van Fermat

(1601-1665) door A.Wiles (1953- ) wijst in dezelfde richting. Welke niet-specialist beweert dit nog tenvolle te begrijpen?

Onze bekende hypothesen en modellen die aanleiding geven tot een overweldigende complexiteit hebben wel hun nut maar kunnen niet lang stand houden. Want, de uitdaging om toch een eenvoudige verklarende theorie te vinden, blijft voor sommigen zeer dwingend …

A.N.Whitehead’s (1861-1947) quote: “ Seek simplicity and distrust it ”, is blijkbaar nog altijd niet genoeg opgevolgd …

Neil Turok die samenwerkte met Stephen Hawking aan het idee van “cyclic universes” , is zich er wel van bewust en tracht er werk van te maken.

Daarom denken velen dat we de vorige eeuw op een keerpunt zijn beland en nu behoefte hebben aan nieuwe inzichten, (4).

Daarom wil ik graag ingaan op Wigner’s uitnodiging om op zoek te gaan naar zo´n verruimend inzicht door meer aandacht te besteden aan onze diepliggende filosofische standpunten

met wortels in Mesopotamië en het Oude Egypte samen met de bewustvormingen van Abraham,Thales met Anaximander, Pythagoras met Philolaus, Plato met Aristoteles, Descartes met Spinoza en Newton met G.W.Leibniz (1646-1716).

Dit vergelijk ik ernstig met Oosterse inzichten, waaronder het Hindoeïsme,Taoïsme, Boeddhisme en de filosofie van Nagarjuna (150-250 n.Chr.) die terug te vinden is in wetenschappelijke vorm bij David Bohm (1917-1992), (5).

Dit bracht me tot een bewustwording dat er een merkwaardig verband moet zijn van eindigheid met oneindigheid en van tijdelijkheid met tijdloosheid. Cantor-concentratie en Boeddha-Cantor-Gauss tijd lijken dan concepten die kunnen helpen bij het verwoorden ervan.

Inzichten van de zeer belangrijke wiskundigen C.F. Gauss,

J. von Neumann en R. Penrose , verbonden met het schitterende inzicht van Louis de Broglie, worden dan samengevoegd met de Oosterse YIN-YANG polariteit tot een “Kosmische Complementaire Dualiteit”. Daarin kan ik dan de niet-commutatieve algebraïsche uitdrukking

a*(aa*)^a(a*a)^a*

die bij deze bevindingen behoort, als een universele algebraïsche weerspiegeling interpreteren in de relatie tussen “Harmony in Nature” , (6) and “Generalized Invertibility in Mathematics”.

Die relatie kan dan in verband gebracht worden met de

subject - object scheiding bij observeerbare gebeurtenissen die dan, algebraïsch, beschouwd kunnen worden als een volutieve driehoeksverhouding met betrekking tot het eenheidselement 1 en idempotenten e en 1 - e, in bijbehorende algebraïsche ringstructuren.

Tenslotte probeer ik aan te tonen hoe we, met al die abstract algebraïsche von Neumann reguliere bedenkingen, dicht bij de ingeving van J.Piaget (1896 – 1980 ) kunnen komen dat, van het biologische al tot het logisch denken, alle niveau´s door een zelfde wet worden beheerst nl.

“ die tussen deel en geheel ”, (7).

Dit alles kan dan misschien dienen bij jou zoektocht naar een

“ unifying goal to mankind “, door ook te steunen op :

“ Zintuigen dienen het eindige van het bestaande,

concentratie het oneindige van het onbestaande

en het hart de harmonische verbondenheid ervan “.

Velen zijn onderweg, (8) …. en nodigen je uit om ook te zoeken, te denken maar ook na-te-denken. In het boek Epinomis van Plato wordt vermeld dat “ Wie na-denkt zal inderdaad de openbaring krijgen dat één enkele natuurlijke hand alles verbindt”, zeer mooi geschilderd door W.Blake in

“De Almachtige“ …. Wellicht het geschenk van “Ware Wijsheid” verbonden met de kennis van getallen en zijn afgeleiden ….

Maar, spreekt de oproep van Wigner je niet aan dan is het niet nodig om verder te lezen.

(1). Louis de Broglie : The wave nature of the electron , Noble Lecture , Dec 12, 1929.

www.nobleprice.org / nobel_prices/physics/laureates/1929/broglie-lecture.pdf

met o.m : “Thus , to describe the properties of matter as well as those of light, waves and corpuscles have to be referred to at once and the same time….And it is on this concept of the duality of waves and corpuscles in Nature , expressed in a more or less abstract form, that the whole recent development of theoretical physics have been founded and that all future development of this science will apparently have to be founded.”

Zie ook Wikipedia : Hypothese van De Broglie.

Het Yin-Yang principe dat we vandaag gebruiken werd ontwikkeld in de I.Tjing en wordt toegeschreven aan Fu-hsi, een figuur uit de Chinese Mythologie, de eerste van de Drie Verhevenen die regeerde van 2.952 v.Chr. tot 2.836 v.Chr.

Op de muurschilderijen, gevonden in de graftombe van het geslacht Wu in Shandong, daterende uit de Han-dynastie, werd het principe voorgesteld door het vrouwelijke met een passer en het mannelijke met een winkelhaak …

Zie ook “De Orde van het Universum” van Michio Kuschi.

(2). Gödel proved fundamental results about axiomatic systems,

showing that in any axiomatic mathematical system there are propositions that cannot be proved or disproved within the axioms of the system. In particular, the consistency

of the axioms cannot be proved. This ended a hundred years of attempts to establish axioms which would put the whole of mathematics on an axiom basis, by e.g. Bertrand Russell (1872-1970) and D.Hilbert.

von Neumann schreef naar Gödel in 1930 : “ Thus I think that your result has solved negatively the foundational question ; there is no rigorous justification for classical mathematics ….

Maar waarop steunt dan precies die “ unreasonable effectiveness of Mathematics “ waarvan E.Wigner e.a. zo overtuigd waren? M.a.w. hoe komt het dat we wiskundige modellen kunnen bedenken, die als het ware de schaduwen vormen van gebeurtenissen in de werkelijkheid, die we daardoor kunnen “ begrijpen en verklaren “ ?

(3). Zie ook : “ Geschiedenis van de wiskunde, D.J.Struik, PDF-online “ met meer informatie omtrent C.F.Gauss op pg.193 en volgende.

E.Galois vond een betere verklaring dan N.-H. Abel (1802-1829) waarom er geen formule voor de wortels van een 5^de graadspolynoom bestaat, uitgedrukt in de coëfficiënten van dat polynoom en de operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en het nemen van wortels. Zijn bewustvorming van “Galois-groep” behorende bij een polynoom, gaven het definitieve inzicht van het grote belang van groepentheorie in de wetenschappen. Zijn theorie, nu Galois theorie genoemd verklaart ook waarom een hoek niet in drie gedeeld kan worden met behulp van passer en lineaal.

Zie ook, www.Filosofia Esoterica.com :

E.Galois and A.Einstein, Two Altruïstic Lives, Possibly of the same Soul, by Catherine Meyes.

Zie ook Allyn Jackon : Comme Appelé du Néant – As If Summoned from the Void : The Life of Alexandre Grothendieck, www.ams.org/notices/200409/

(4). De Solvay debatten in 1927 en 1930 ….. , de “Science Quotes by H.R.Pagels (1939-1988) “ met o.m.

“Theoretical and experimental physicists are now studying nothing at all - the vacuum. But that nothingness contains all of being” ….

John Wheeler (1911-2008) beweerde:”De vacuümfysica zal de kern van alle dingen zijn”.

“ Voorbij Einstein´s ruimtetijd …” met artikel van Lee Smolin e.a. “The principle of relative locality” , arXiv.org (2001) met het begrip van “Faseruimte” en het reciprociteits idee van de Nobelprijswinnaar Max Born (1882-1970), zie visionair.nl ….

en ook “ New Scientist, August 2011 : Beyond space-time : Welcome to phase space “, by Amanda Gefter.

See also, The end of Space and Time ? – Robbert Dijkgraaf, Gresham College.

Also, The Wave Structure of Matter (WSM), Milo Wolff and Geoff Haselhurst : Light and the Electron – Einstein´s Last Question …

One of the greatest thinkers in physics, sir Roger Penrose declaired :

• the Big Bang was not the origin of the universe, in Reaching the Knowledge 2015 see YouTube
• string theory is a “fashion”, quantum mechanics “faith”

and cosmic inflation a “fantasy”, in Science Friday

• the human brain -  and the universe itself – must function according to some theory we haven´t yet  discovered, in Discover interview October 2009

Stephen Hawking on “Imaginary Time” : ….One might think this means that imaginary numbers are just a mathematical game having nothing to do with the real world. From the viewpoint of positivist philosophy, however , one cannot determine what is real. All one can do is find which mathematical models describe the universe we live in .

It turns out that the mathematical model involving imaginary time predicts not only effects we have already observed but also effects we have not been able to measure yet nevertheless believe in for other reasons. So what is real and what is imaginary? Is the distinction just in our minds? …

Mijns inziens lijkt het interessant om twee dimensies te verbinden aan het begrip “ Kosmische - Tijd “ die dan, om het op een Pythagorische manier uit te drukken, een “goed huwelijk“ kunnen vormen met de drie klassieke dimensies verbonden aan de ruimte m.a.w. daarmee een 2 + 3 = 5 dimensionale ruimte creëert i.p.v. de 4-dimensionale niet-Euklidische Minkowski ruimte of de 8-dimensionale fase ruimte door een 4-dimensionale momentum ruimte erbij te betrekken. Waarschijnlijk leunt dit dicht aan bij bedenkingen van H.Weyl (1885 – 1955) en de “Kaluza – Klein “ theorie omtrent een 5^de dimensie waarvan sprake in de hedendaagse string theorie en de M-theorie, zie verder.

Leunt ook dicht aan bij de 5 pijlers van Hatha Yoga en Boeddhi Yoga van de spiritueel verlichte intelligentie.

Leunt ook dicht aan bij de 5 belangrijke getallen verbonden in de identiteit van Euler.

(5). Voor G.Boeddha (450-370 v.Chr.) en de Boeddhisten is er geen Schepper, maar een oneindig aantal scheppende machten, die samen de ene Eeuwige Werkelijkheid vormen, waarvan de essentie ondoorgrondelijk is.

De klassificatiemethode “The Eightfold Way” in de theorie van de quarks van de Nobelprijswinnaar Gell-Mann (1929- ) is genoemd naar Boeddha´s achtvoudige pad van verlichting …

Filosofie van Philolaus (470-385 v.Chr.) , Fragment DK 44 B 6a :

“This is the state of affairs about nature and harmony …The essence of things is eternal; it is a unique and divine nature, the knowledge of which does not belong to man. Still it would not be possible that any of the things that are, and are known by us, should arrive to our knowledge, if this essence was not the internal foundation of the principles of which the world was founded, that is, of the limiting and unlimited elements. Now since these principles are not mutual similar, neither of similar nature, it would be impossible that the order of the world should have been formed by them, unless the harmony intervened ….”

Filosofie van Nagarjuna (Indië , 150-250 n.Chr.) :

Nagarjuna laat zien dat het logisch onmogelijk is dat

dingen op zichzelf bestaan. Er zijn geen essenties , alles

ontstaat door wederzijds afhankelijk ontstaan. Hij erkent dat we in het alledaagse leven er wel van uitgaan dat dingen onveranderlijk zichzelf blijven. Maar, hij stelt dat dit slechts een relatieve waarheid is . De absolute waarheid bestaat uit het inzicht dat dingen in wezen leeg zijn van eigen bestaan of substantie. Dit inzicht is de volmaaktheid van wijsheid. Het leidt tot het Nirvana, want het dooft alle hunkering naar bestaan of niet-bestaan.

Zie ook Alexandra David-Neel en Lama Yongden : De geheime leer van Tibetaanse Boeddhistische sekten, De Driehoek / Amsterdam, 1967 & 1990 .

Deze visie vinden we ook, onder wetenschappelijke vorm, bij D.Bohm (1917-1992), Wholeness and the Implicate Order, Taylor & Francis online Journal Library, 2005 www.eBookstore.tandf.co.uk

met o.a. :

• this model of reality connects everything with everything else
• any individual element could reveal detailed information about every other element in the universe
• unbroken wholeness of totality of existence as an undivided flowing movement without borders.

Verder ook bij:

• David Bohm and Mark Edwards: Changing Consciousness
• David Bohm´s compassion and understanding, by Jim Belderis, 1997.

G.W.Leibniz, wis-en natuurkundige en rationeel filosoof publiceerde in 1714 “La Monadologie” waarin hij ook stelde dat alles bestaat uit ontelbare eenheden of krachtpunten van verschillende bewustzijnsgraad die hij “monaden” noemde,

harmonisch verbonden en met individuele eigenschappen die het verleden, heden en toekomst van elk ding zouden bepalen….

Dat idee werd door Ralph Waldo Emerson (1803 – 1883) uitgedrukt op de volgende manier: “ In a certain sense , everything is everywhere at all times. For, every location involves an aspect of itself in every location. Thus, every spatio-temporal standpoint mirrors the world “.

Leibniz uitte kritiek op de mechanica van Newton omdat daarin de absolute ruimte van Aristoteles behouden was. Leibniz hing een relativiteitsbegrip aan, waarin posities betrekkelijk zijn die later opnieuw opgenomen werden in de Maxwell-theorie en Relativiteitstheorie.

Hij streefde naar een “ Scientia generalis “ en een “ Lingua universalis “ en pleitte voor verdere uitwisselingen van kennis tussen Westerse- en Chinese filosofen, die zou leiden tot een beter begrip van de Schepping …

Het lijkt interessant om zich af te vragen of de filosofische

overtuigingen van Leibniz niet geschikter zijn voor “ a unifying goal to mankind “ dan de filosofische overtuigingen van Newton. De welbekende “ Leibniz – Newton calculus controversy “ weerspiegelt ook het belang van deze vraagstelling.

Zie ook : “ The Metaphysical Principles of Infinitesimal Calculus , René Guénon , Sophia Perennis , 2004. René Guénon devotes an entire volume to questions regarding the nature of limits and the infinite with respect to the calculus both as a mathematical discipline and as symbolism for the initiatic path:

“The conception of the limit in and of itself is one thing ,

and the logical justification of the pasage to the limit, quite

another.“

(6). Harmony in Nature : Er is een boeiende weg van de “Harmoniekunde”, van Pythagoras naar de “Aesthetica” van A.G.Baumgarten (1714-1762) en F. von Schiller (1759-1805).

(7). Zie Dr. Ewald Vervaet : Jean Piaget (1896-1980) en de genetische epistemologie , Stichting Histos.

(8). I.Kant (1724-1804) : For peace to reign on Earth, humans must evolve into new beings who have learned to see the whole first …

Neil Turok with his AIMS : African Institute for Mathematical Sciences, Cape Town, South Africa.

Sadhguru Jaggi Vasudev maakt er op zijn manier werk van in zijn boek “ Inner Engineering “, 2016. Zie ook Youtube :

Spirit of Eastern Wisdom : The Intelligence within, Sadhguru.

Mohamed El Bashiri : “A Jihad of Love – The answer to terrorism, TEDxHilversum, Youtube en De Bezige Bij, Amsterdam, Antwerpen 2017.

Jim Dator, Director of Hawaii Research Center for Future Studies :

Quote : “ Any useful statement about the future should at first seem ridiculous “

www.futures.hawaii.edu: “ What Future Studies is, and is not “

Youtube : Generation Anthropocene, James Dator, “ Future Sciences “ .

Bruno Braeckman, Het Hart van de Acupunctuur, ACU-QI uitgeverij – Brugge, 2010.

Buckminster Fuller (1895-1983), called the first poet of technology, declaired :

“ Design Science is the effective application of the principles of science to the conscious design of our total environment in order to help make the Earth´s finite resources meet the needs of all humanity without disrupting the ecological processes of the planet.”

See also Buckminster Fuller Institute ( BFI ).

Linda Johnsen, Vergeten Meesters – De verborgen wijsheid van de Griekse Filosofen, Bres/ Edicola Publishing bv, Deventer met een Voorwoord van Echart Tolle. Vertaling van de Engelstalige uitgave “Lost Masters”, uitgegeven door New World Library, Novato, California 94949, USA 2006, 2016.

De mooiste teksten van Willigis Jäger, Parels van Wijsheid, samengesteld en bewerkt door Christoph Quarch en Elisabeth Walcher, Asoka 2015. Vertaling van “ Perlen der Weisheid, Die schönsten Texte von Willigis Jäger “, HeiderVerlag GmbH, Freiburg im Breisgau, Duitsland, 2012.

Dean Radin, Ph.D. , Chief Scientist at IONS = Institute of Noetic Sciences, founded by Apollo 14 Astronaut Edgar Mitchell, with his new book: “ Real Magic “, 2018.

Giulio Tononi with his book:

“ PHi : A Voyage from the Brain to the Soul “ , 2012

Banned TED Talk: “ The Science Delusion “ by Rupert Sheldrake at TEDx Whitechapel.

Roberto Mangabeira Unger with his book :

“ The Religion of the Future “

Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, London, England 2014.

Youtube: “ Steven Weinberg on a final theory of nature and symmetry in physics “

Ervin Laszlo met zijn boek:

“De intelligentie van de Kosmos” , Edicola Publishing 2018

“ Your greatest awakening comes, when you are aware about your infinite nature ”

Amit Ray

Het is van belang om in te zien dat “ Oneindig en Oneindigheid “ in zeer vele gevallen ongepast gebruikt worden, wellicht omdat het zo´n essentieel en niet-eenvoudig uit te leggen begrip is.

Alleen op het eerste zicht lijkt het eenvoudig : oneindig betekent nl.… niet-eindig. Daarmee sta je in feite niet veel verder maar is het wel duidelijk dat “ eindig en oneindig “ bij elkaar behoren en elkaars tegenpool zijn. M.a.w. we moeten ons afvragen of we een duidelijk verschil kunnen belichten tussen eindig en oneindig.

Velen hebben dat in het verleden geprobeerd, maar het waren G. Cantor en R. Dedekind die het op een wiskundig - logische manier probeerden en daarmee ook nog eens de bestaande onenigheid erover onder wetenschappers, theologen en filosofen aanwakkerde.

De welbekende, maar misplaatste uitspraak “ een oneindig groot getal “ is om wat indruk te maken en om het

“ voorgestelde, zeer groot getal “ niet te moeten weergeven …

Toch blijken “ verzamelingen van getallen met hun injecties, surjecties en bijecties “ een middel om oneindigheid duidelijker te belichten….

Dat was de uitzonderlijke verdienste van G. Cantor en R.Dedekind.

Daarom eerst wat elementaire aandacht aan … getallen met afgeleiden en verbanden.

Getallen, oorspronkelijk gecreëerd om te helpen bij allerhande dagelijkse probleempjes, waaronder vooral met “ hoeveelheden “, zijn telkens mee geëvolueerd met nieuwe bewustvormingen in de geschiedenis.

Een belangrijke bewustvorming bij de bouwmeesters van het Oude Egypte en Mesopotamië was HOE ze met de getallen 3, 4 en 5 een rechte hoek en dus rechthoekige driehoeken konden maken en dankten de Goden voor zo´n geschenk ….

Maar ze wisten ook HOE ze met een cirkel rechthoekige driehoeken konden maken….

Thales (624 - 545 v.Chr.) die Egypte bezocht, bracht ook veel andere kennis mee naar Milete en werd bewust van een zekere “rationele verklaring” ervoor, door te steunen op bijbehorende schaduw effecten. Een ware metanoia vermits hij aantoonde dat “opvattingen die ingegeven werden door de Goden”, ook gestaafd kunnen worden aan de hand van argumenten en dit als gevolg van het betrekken van “ schaduwen van dingen die belicht worden”…

Met hem ontstond dan de Griekse cultus van

“ het zoeken naar het WAAROM, de universaliteit en het bewijs van …. opvattingen ingegeven door de Goden …. “

Hij leerde ons bewust omgaan met “abstracties van verhoudingen “ en met de gelijkheid ervan, ook uitgedrukt in de nu bekende “Stelling van Thales” in verband met evenwijdige lijnen nl. lijnen die elkaar “niet snijden” en een “punt op oneindig” kunnen karakteriseren.

Hoe belangrijk evenwijdige lijnen in esotherische abstracties van werkelijkheden zijn, werd grafisch zeer duidelijk gemaakt door Escher, door ze als eerste patronen te gebruiken bij het ontwerpen van zijn wonderlijke, regelmatige vlakverdelingen. Het komt vooral goed tot uiting in het ontwerp wat ik graag benoem als, “ vliegende vissen oftewel vissende vogels “, zie pg.159 van het reeds vermelde boek over Escher.

Die “ abstracties van verhoudingen “ werden later rationale getallen en ook breuken genoemd. Die breuken, nu voorgesteld door b/a waarbij a en b natuurlijke getallen voorstellen en a verschillend van nul moet zijn, kunnen NU beschouwd worden als … “de toegevoegde oplossingen van de eenvoudigste en strijdige vergelijking ax = b met onbekende x over de natuurlijke getallen” en vormden het eerste “ algebraïsch veld “ t.o.v. optelling en vermenigvuldiging, dat de verzameling der natuurlijke getallen omvat.

Dat uitzonderlijk inzicht van Thales, wat “ spiritual understanding “ zou kunnen genoemd worden, kan opgevat worden als een gevolg van zijn diepste verlangen om elk bekend natuurlijk getal, verbonden aan een evolutief begrip, terug te kunnen brengen naar de

eenheid 1 d.m.v. vermenigvuldiging. Dit komt in feite neer op de behoefte om een involutief begrip te definiëren behorende bij een evolutief begrip verbonden aan een natuurlijk getal, … zie verder.

Dat was waarschijnlijk één van de belangrijkste natuurwetenschappelijke inzichten ooit …

Zijn leerling Anaximander (610 – 546 v.Chr.) was zich toen al bewust van een zekere abstractie van oneindigheid via de term “apeiron” dat voor hem een onbepaalde substantie was, het allesomvattende waarbinnen ontstaan en vergaan geschiedt vanuit een grenzeloos tijdsgebeuren.

Die gedachte werd weer levendig gemaakt door

F. Nietzsche (1844-1900), waarvoor dank want het is moeilijk om een evenwaardige, eenvoudige uitspraak daarover zelf naar voor te brengen…

Voor mij komt die uitspraak “ onbepaalde substantie “ overeen met de wat subtielere Oosterse uitspraak,

“ het nog niet gemanifesteerde “…

Het is merkwaardig en wonderlijk dat de stelling van Thales nu dagelijks, onnoemlijk veel toegepast wordt bij betalingen via streepjescodes …. en dat velen onder ons nog altijd moeilijkheden ondervinden bij het rekenen met breuken.

Thales van Milete wordt nu terecht beschouwd als de eerste Griekse wiskundige, natuurwetenschapper en analytisch filosoof in de geschiedenis van het westers denken.

Hij maakte bij mij de bedenking los dat :“ Oneindigheid het verschil uitmaakt tussen het HOE en het WAAROM ”.

Net zoals Thales bracht zijn leerling Pythagoras (572 – 500 v.Chr.) wat later, ook veel kennis mee vanuit zijn lang verblijf in Mesopotamië en Egypte, zie Marcel Roggemans´ prachtig boek : Pythagoras, zijn Leven en zijn Leer .

Pythagoras moest zeker niet onderdoen voor zijn leermeester Thales vermits hij tot het besef kwam van een “ kosmos als geordend geheel “ en dat de rationale getallen van Thales het heelal en de muziek beheersen, wiskunde met theologie moet verbonden worden en de grondslag is van natuurkunde en esthetica. Ook werd hij bewust van irrationaliteit en metafysica van getallen. Hij onderwees volledige gelijkheid tussen man en vrouw en ook reïncarnatie onder Indische en Oosterse invloed.

Meer dan tweeduizend jaar later worden wij nog altijd beïnvloed door zijn gemaakte keuzes…

Zijn synthese van het complete gedachtengoed uit alle, toen bekende werelden noemde von Leibniz “ Eeuwige Filosofie ”, die zou kunnen omschreven worden als “ oud en nieuw bewustzijn van de mensheid vertalen naar abstracte, begripsmatige termen “.

Philolaus, een belangrijke leerling van Pythagoras verklaarde: “ Al het gekende heeft getal want niets kan worden gedacht of gekend zonder getal ” , (1).

De bewustvormingen die Thales , Pythagoras en anderen toen hebben gemaakt nl. om verklaringen te zoeken voor “Goddelijke ingevingen” , veroorzaakten misschien wel een even grote omwenteling als de keuze die lang ervoor gemaakt werd om het vuur te willen beheersen. Boeiend maar wel riskant ….. denk daarbij aan de confrontatie met en bewustvorming van “ vierkantswortel uit 2 ”.

Inderdaad, bij een gelijkzijdige rechthoekige driehoek bleek dat de lengte van de schuine zijde niet gemeten kon worden met rationale getallen! M.a.w. er was geen rationaal getal te vinden dat met die schuine zijde geassocieerd kon worden. Dus, van een vierkant met “oppervlakte 2” kon de lengte van een zijde ervan niet “ gemeten” worden …

Dit was een drama voor de toen heersende gedachte van Pythagoras en zijn vrienden, dat “aan alle dingen een bestaand rationaal getal kon toegevoegd worden”.

Hippasus, de rebelse leerling van Pythagoras in Crotone, zou immers aangetoond hebben, via redenering, dat er geen rationaal getal (= breuk) a/b bestaat waarvan het kwadraat 2 is. Velen krijgen nu de gelegenheid om een mooi en eenvoudig bewijs daarvan te bewonderen tijdens het schoolse onderwijs ….

Zo ontstond toen de behoefte om andere getallen, wat we nu “irrationale getallen” noemen, te creëren om aan elke schuine zijde van een rechthoekige driehoek toch “ een getal ” te kunnen associëren m.a.w. van “ het te kunnen meten ”.

Dat lag aan de basis van een volgende, belangrijke stap in de ontwikkeling van onze bewustvormingen …

De reden voor het probleem dat ze hadden, is dat er bij rechthoekige driehoeken een heel merkwaardig verband bestaat die niet-linear maar wel kwadratisch is nl. dat de som der oppervlakten van de vierkanten behorende bij de rechthoekzijden altijd gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant behorende bij de schuine zijde….

Bij de rechthoekige driehoek behorende bij de getallen 3, 4 en 5 is dat dus 9+16=25 en de lengte x van de schuine zijde moet voldoen aan x²=25, wat duidelijk 5 is. Maar bij de rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekzijden lengte 1 hebben en schuine zijde lengte x, moet dus

1² + 1² = x ² m.a.w. 2 = x² en bestaat er geen rationaal getal x dat daaraan voldoet. Vandaar de behoefte om de toen bekende verzameling van de rationale getallen uit te breiden met irrationale getallen om zo elke schuine zijde van rechthoekige driehoeken “ te kunnen meten ” en dus onderling te kunnen vergelijken.

Rechthoekige driehoeken hebben ons geleerd dat er drietallen van natuurlijke getallen (x,y,z) bestaan waarvoor x² + y² = z² … bv.

(3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (8,15,17), (9,12,15), (11,60,61), (20,21,29)…, (56,90,106), …(119,120,169), … (12709,13500,18541), …

Dat er GEEN, van nul verschillende, natuurlijke drietallen (x,y,z) bestaan waarvoor x³ + y³ = z³ of

x⁴ + y⁴ = z⁴ of algemeen, waarvoor xⁿ + yⁿ = zⁿ voor willekeurige n>2 , is nu nog maar recent opgelost door A.Wiles. Dat hij hiervoor een onmenselijke inspanning moest leveren, steunende op onze diepste inzichten op gebied van “ Number Theory “ , toont aan hoe diep verweven onze “ideos” zijn met de abstracte wereld van de getallen en zijn uitbreidingen. Dat, is een grote verdienste van A.Wiles maar helaas, velen zullen zijn bewijs nooit tenvolle begrijpen …

Pythagoras en Plato waren zich hiervan, toen al, wel min of meer bewust.

Over de stelling van Pythagoras en de laatste stelling van Fermat, media.leidenuniv.nl/ …

Zie ook, M.C. van Hoorn, College over de kleine stelling van Fermat, online.

Nog wat later maakte Plato (427 -347 v.Chr.) ons veel bewuster dat het interessant is om over een wereld van dingen en een wereld van ideeën te spreken. Met ideeën bedoelde hij “ idea of eidos “ nl. vormen , gestalte, aanblik in de context van eeuwig, perfect en onveranderlijk: dragers van

“ Oorspronkelijke Concepten van Schoonheid “

( spirituele DNA struktuur ? ). Contact hiermee zou ons dichter brengen bij ware kennis en inzicht. Het behelst de veronderstelling dat er “ eeuwige, slechts met het verstand waarneembare ideeën zijn “.

“ Dingen ” volgens hem zijn sensibele objecten die we in onze leefwereld met de zintuigen waarnemen en kunnen opgevat worden als “onvolkomen copieën van vormen “.

Hij was overtuigd dat alle “ Ware Kennis” een kennis van vormen is, omdat alle dingen continu veranderen en ook andere eigenschappen hebben op andere tijdstippen.

Ook William Blake , Engels dichter (1757 – 1827), wilde ons dat duidelijk maken met: “ Indien de vensters van onze waarneming werden schoongemaakt dan zou ieder ding voor de mens verschijnen zoals het werkelijk is ….. ONEINDIG “.

Eigenlijk bouwde Plato verder op de Eerste principes uit de Egyptische mythologie: “ De Eenheid “

(monade) en

“ De Onbepaalde Tweeheid “ ( dyade ). Uit deze principes ontstaan volgens hem de Vormen

(Ideeën), die mogelijk met getallen kunnen worden vereenzelvigd en die op hun beurt als overgang wiskundige vormen of categorieën genereren met op het laagste niveau de zintuiglijk waarneembare dingen.

Na Plato kwam Aristoteles (384 – 322 v.Chr.) en Euclides van Alexandrië met meer interesse voor de wereld van de dingen met vooral de zichtbaarheid ervan. Euclides wordt beschouwd als de vader van de meetkunde en voorloper van de axiomatische methode in de moderne wiskunde. Maar Plato had, volgens mij zeer terecht, gewezen op de gevaren van bewustvorming te verkrijgen enkel op basis van tekeningen … zie maar Penrose triangle, Esher tekeningen, Eric Grohe’s Murals and Design ….

Euclides was toch uitgedaagd en veroorzaakte met zijn keuze van 9 algemene inzichten, 5 postulaten met vooral het vijfde en 23 definities, ook veel interessante verwarring , (2).

We moesten (lang) wachten op C.F. Gauss om te weten dat het vijfde postulaat onafhankelijk is van de overige vier en dat er ook niet-Euclidische meetkunde bestaat. Einstein toonde aan dat het ook praktisch belangrijk is.

Euclides kon zich redelijk goed houden aan de voorschriften van Plato maar we moesten wachten op Descartes en Cantor en de nieuwe algebraische inzichten om vele zaken beter te begrijpen.

De interesse van Aristoteles en zijn volgelingen voor de wereld van de dingen groeide meer en meer met een riskant dualistisch wetenschappelijk denken als gevolg : minder zoeken naar schoonheid, meer zoeken naar macht en daarmee ook een gevaarlijke splitsing in onze bewustvormingen bracht ... Niet te verwonderen dat toen de grote veroveraar Alexander de Grote verscheen, als vorm en gestalte gecreëerd door Aristoteles met enorme gevolgen, ook voor Aristoteles.

Niet veel later verscheen Jezus van Nazareth, rebellerend tegen de Romeinse, Macedonische en Joodse machtstaten door middel van een nieuwe eenvoudige wereld van “ideos” met enorme gevolgen , ook voor hem…

Hieromtrent is veel te lezen in het boek van R. M. Unger ,

“ The religion of the Future “, Harvard University Press, 2014 en online te lezen m.o.m. op pg. 271:

“ Our Insatiability condems us forever to seek the infinite from the finite “….

Volgens mij kan je daaraan echter ontsnappen door te beseffen, maar niet voor velen weggelegd, dat :

“ Once certain Insatiabilities disappeare, Infinity appears “.

Iedereen bouwt voor zich een “wereld van dingen “ met veel onenigheid onder elkaar daarover , zelfs indrukwekkend meer, na intense wetenschappelijke studies ………

Iedereen bouwt ook voor zich een “wereld van ideeën “ met nog meer onenigheden daarover , zelfs na duizenden jaren samenleving………

Naast al die onenigheden in elk van die werelden ontstaat complete verwarring m.a.w. chaos als die werelden los gekoppeld worden of onbedachtzaam gemengd worden .

Denk daarbij aan de antinomieën met o.m. “ de kosmos is eindig ” tegenover “de kosmos is oneindig “ van Kant (1724 -1804), Fundering voor metafysica van de zeden, Boom, Amsterdam, 2008 .

Zie ook op Youtube :

“Einstein on God” ; “Stephen Hawking on God”; “Atheïst Dick Swaab rekent af met God”.

Denk ook aan het “demon van Laplasse” of aan zij die God zoeken, niet vinden maar wel een bewijs dat God niet bestaat (maar Godendrank wel) , niettegenstaande Emanuel Rutten zijn best doet op Youtube met “ Waarom is het onmogelijk te weten dat God niet bestaat; aan de redenering dat een haas een schildpad nooit kan inhalen ; aan de keuzes die Euclides maakte , enz …….

Misschien daarom dat de moderne wetenschap soms vergeleken wordt met een onthoofde Plato, door Euclides en Aristoteles ….? , ( 3 ) .

Gelukkig dwingen moderne subatomaire verschijnselen de (kwantum) fysici om zich bewuster te worden van de belangrijkheid van de “ ideeënwereld van Plato “ m.a.w. van de belangrijkheid van abstracte modelstrukturen,

waaronder abstracte wiskunde. De hedendaagse “string-theorie” toont dat heel duidelijk aan en werd door

L. Susskind, grondlegger van de stringtheorie, treffend uitgedrukt door : “ you have to rewire yourself using abstract mathematics “,

zie Youtube : World Science Festival, Beyond Einstein :

“ In search of the Ultimate Explanation .

Onder al die onenigheden die we hadden en hebben is de

“onenigheid over oneindigheid “

een heel interessante onenigheid. Dit is duidelijk te maken aan de hand van getallen – abstracties:

We hebben (natuurlijke) getallen bedacht nl. cijfers en getallen, (4) die een “ abstractie kunnen zijn van hoeveelheden van iets “ en worden als bestaand in ons bewustzijn opgenomen . Onenigheid daarover is er niet maar wel zeer vlug na de volgende vraag : hoeveel natuurlijke getallen zijn er m.a.w. “ hoeveel hoeveelheden “ zijn er …. ?

Door het ordenen van de natuurlijke getallen naar “grootte van de hoeveelheid” die ze representeren nl. 1,2,3,4,5,….. verandert die vraag in een andere vraag :

Is er of bestaat er een grootste natuurlijk getal ?

Indien ja, dan is de verzameling der natuurlijke getallen eindig en welk getal is dan het grootste ...?

Indien neen, dan is de verzameling der natuurlijke getallen niet eindig en dat noemen we dan de oneindige verzameling der natuurlijke getallen en kies je dan, om het begrip “oneindige verzameling of oneindige hoeveelheid “ in je ideeënwereld op te nemen. Aan die oneindige hoeveelheid hechten we dan een “ nieuw getal “ dat we

“ aleph.nul “ noemen, de kardinaliteit van de natuurlijke getallen. Dit ervaren we dan in ons bewustzijn als “oneindige hoeveelheid bestaat” en ligt de weg open naar een “oneindig universum “.

Zie ook, Nicolaas Cusanus (1401 – 1464 ) en zijn leerling dominicaan Giordano Bruno ( 1548 – 1600 ) met zijn boek “ De l´ Infinito, Universo e Mondi, 1584 “, die samen met hem op de brandstapel terecht kwam.

Zie ook www.galileo.rice.edu m.o.m. “ Bruno argued that the universe was infinite, that contained an infinite number of worlds, and that these are all inhabited by intelligent beings” .

Kies je in de oneindige rij van natuurlijke getallen 1,2,3,…

een willekeurig (zeer) groot getal dan volgen er blijkbaar altijd nog oneindig veel getallen. …

Een ander belangrijk gevolg van oneindige hoeveelheid is dan ook : als we uit een oneindige hoeveelheid een eindige hoeveelheid wegdenken dan blijft er nog altijd een oneindige hoeveelheid over, zelfs als we zonder ophouden een eindige hoeveelheid ( hoe groot die ook maar is !! ) wegdenken …….(5). Deze, op het eerste zicht, eigenaardige eigenschappen van oneindige hoeveelheid is, in dit verhaal onnoemlijk belangrijk.

De problematiek van oneindig is niet alleen te vinden bij het “grootte “ maar eveneens bij het

“ kleine “ en dat zeer vlug. Inderdaad , wat is de kleinste positieve breuk …. ? Stel dat het zou bestaan nl. a/b , maar dan is toch a/2b kleiner …. ?

Dus, bij de positieve breuken is er niet alleen geen grootste maar ook geen kleinste positieve breuk. Dat is een groot verschil met de natuurlijke getallen waar er wel een kleinste getal is nl. 1 of 0, naargelang.

Wellicht roept dit vragen op en als je zoekt dan kom je terecht bij L.Kronecker en G.Cantor en hun onenigheid. De ene met de steun van H.Weyl , L.E.L. Brouwer , H.Poincaré en R.Witgenstein, de andere met de steun van R.Dedekind K.Weierstrass en D.Hilbert.

Uiteindelijk komt dit neer op een diep filosofisch standpunt waarover veel onenigheid. Hun standpunten worden weerspiegeld in de beroemde uitspraken :

L.Kronecker : “ Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”.

D.Hilbert : “Niemand zal ons verjagen uit het paradijs dat Cantor gecreëerd heeft “.

Hier zie je duidelijk wie er dichter aanleunde bij de inzichtswereld van Pythagoras en Plato…

Cantor maakte geïnteresseerden bewust van oneindigheden en hoe daarmee om te gaan, zelfs door ”getallen“ aan oneindigheden te verbinden wat Pythagoras, Philolaus en Plato tenzeerste zouden appreciëren . Die getallen noemen we nu transfiniete getallen. Dit was de grootste verdienste van Cantor.

Je kan enkel bewuster worden van de ideeënwereld van Cantor door een grondige studie te maken van zijn theorieën beginnende met kardinaalgetallen , ordinaal getallen…… Dit is niet eenvoudig en vraagt veel tijd maar kan wel inzicht verwekken omtrent een oneindig universum. Zo kom je wat dichter bij de westerse – en oosterse eeuwigheidsbegrippen en abstracte begrippen van oneindigheid in religies , Taoïsme , Hindoeïsme en Boeddhisme. Niet te verwonderen dat men, waaronder Lesley Hazleton, kan stellen dat : “ Het agnostisch equivalent voor God is Oneindigheid “ .

Cantor’s idee was schitterend maar wel zeer gewaagd en zijn idee omtrent “absolute oneindigheid “ was veel vooruit op zijn tijd die hem veel last bezorgde met zijn tijdgenoten die geloofden in een christelijke God, (6).

Bij nader inzicht wel verwonderlijk omdat de christelijke religie in feite behoort bij de Abrahamistische religies. Abraham ( 2.000 v.Chr. ) kan beschouwd worden als grondlegger van het monotheïsme ( één grote kosmische geest ) maar ook als “vader van het denken met het hoofd” nl. om de zin van het hele leven en het heelal te doorgronden. Daartoe zal de mens de gave moeten ontwikkelen om aanhoudend abstract intellectueel te denken, (7) en (8).

Volgens mij passen de abstracte inzichten van Cantor omtrent oneindigheid zeer goed bij die vermelde gave en past ook in A.N.Whitehead´s (1861 – 1947 ) paradoxal dictum : “ the utmost abstractions are the true weapons with which to control our though of concrete fact “.

Het woord en de rede bewust gemaakt door Socrates, Plato en Aristoteles hebben veel teweeggebracht , zie o.a. Henri Oosthout, Kritische Geschiedenis van de Westerse Wijsbegeerte, Deel I, Klement 2015.

Maar woord en rede schieten soms tekort , zeker als je het oneindige wil raken. Van het woord mag je niet altijd preciesheid verwachten en van de rede niet altijd klaarheid. Confucius, Laozi en andere Chinese filosofen waren zich hiervan sterk bewust en verkozen een andere weg : niet – taal , niet – redenering …..

Maar als we beseffen dat woorden wel wegwijzers kunnen zijn ( E.Tolle ), blijven woorden wel belangrijk en waardevol. Ze kunnen je soms in een gepaste richting sturen . Tenslotte heeft Gödel aangetoond dat de rede modellen creëert met daarbij veel illusies en al te hoge verwachtingen . Het zijn enkel treden op weg naar een ruimer bewustzijn of een dieper schoonheidsgevoel. Je keuze omtrent “ hoeveel hoeveelheden “ er zijn, is dus ook één van die treden die je kan nemen in de wereld van de ideeën en je niveau van bewustzijn mede zal bepalen, met daarbij je leefwereld. Je zou het een voorbeeld kunnen noemen van een “Godsgeboorte in het intellect”, ons bewust gemaakt door Meester Eckhart (1260-1328).

Ook de volgende quote van Sir Peter Madawar, Nobelprijswinnaar (1960) past hierbij : “ … I believe that a reasonable case can be made for saying, not that we believe in God because He exists but rather that He exists because we believe in Him … “

Bewust kiezen voor Cantor´s abstract begrip van

“ oneindige hoeveelheid “ biedt de mogelijkheid om een verband te leggen tussen de wereld van de ideeën en de wereld van de dingen door te stellen dat:

de abstracte oneindige hoeveelheid manifesteert zich aan onze zintuigen als onnoemlijk veel , eindige hoeveelheden .

Is het een bepaalde vorm van concentratie die ons bewust maakt van die

“ abstracte oneindige hoeveelheid U “ ?

Welke vorm van concentratie is het ?

Is het een vorm die duaal verbonden is met het begrip

“ NU “, nl. een

“ abstracte tijdloosheid NU “

in een tijd - struktuur die zich manifesteert , in onze concentratie , als onnoemlijk kleine tijdcycli ?

Laten we dat “ Cantor concentratie “ noemen ter ere van

G. Cantor en proberen de complementaire dualiteit van “U” met “NU” te begrijpen en het Platonische tussen de wereld van ideeën en de wereld van dingen wat in ere herstellen…

Plato meende dat alle leren slechts een herinneringsproces is en daaruit voortvloeiend dat “ al wat in de wereldgeschiedenis ooit is ervaren of gedacht, bewaard blijft in de ( oneindige ) geheugenbanken van de kosmische geest of leeft in een soort eeuwig “NU“ ,

(8) en (9) .

(1). Einstein maakte ons bewust van de relatie E=mc² wat een prachtig voorbeeld is van de stelling van Pythagoras en Philolaus dat “niets kan worden gekend of gedacht zonder getal ” .

Inderdaad, de verhouding E/m is het zeer groot natuurlijk getal c² en dus ook dat de verhouding m/E het zeer klein rationaal getal 1/c² is. Blijkbaar is de laatste verhouding pas zinvol na bewustvorming van de rationale getallen …

Daarom kunnen we Philolaus´ gedachte nu beter weerspiegelen in : “ niets kan worden gekend of gedacht zonder (wiskundig) structuur model “.

(2). Volgens Aristoteles moest er bij het opbouwen van een wiskundig systeem uitgegaan worden van “ Algemene Inzichten “ die aan het deductief denken ten grondslag liggen.

Euclides veronderstelde in zijn werk “ Elementen “ , bij zijn “Algemene Inzichten “, dat “ het geheel groter is dan een deel ervan“… Was Euclides zich bewust dat zo´n inzicht noodzakelijk impliceert dat “ het geheel “ eindig m.a.w. begrensd moet zijn ? … zie verder.

Zie ook Proclus Diadochus ( 412 – 485 ) : “ A commentary on the First Book of Euclid’s Elements ” ,

en

Omar – Khayyäm ( 1048 – 1123 ) : “ Discussies over Moeilijkheden in Euclidische Meetkunde “ …

Opgelet, de keuze die Euclides maakte omtrent het 5^de Postulaat, herformuleerd in 1795 door de Engelse wiskundige John Playfair dat neerkomt op de keuze “ dat er door een punt niet op een rechte juist één rechte is die de gegeven rechte niet snijdt “, is niet de enige keuze die kan gemaakt worden. Er kunnen twee andere, zinvolle keuzes gemaakt worden nl. dat er in plaats van één, geen ofwel oneindig veel rechten door het punt zijn die de gegeven rechte niet snijden. Dit wordt nu elliptische meetkunde resp. hyperbolische meetkunde genoemd.

Zie “ De Geometria non – Euclides liber, Pascal Wissinck & Jelmer Mulder, members.home.nl/pascal.wissink/…

Zie, Non – Euclidean Geometry Online: A Guide to Resources, by Mircea Pitici, 2008 met o.a. “ The elements of non –Euclidean geometry, by D.M.Y. Sommerville (1879 -1934), Univ. of Michigan Historical Math. Collection.

Eenmaal je oneindigheid in je bewustzijn opgenomen hebt en dat wil verbinden met meetkunde dan kan je wel een heel andere rechte tekenen door een punt evenwijdig met een gegeven rechte, niet door dat punt …

Je kan dit zelf goed inzien door het te construeren op de Möbius band, die een mooie voorstelling is van het vlak met oneindigheid erbij opgenomen. Net zoals de cirkel een voorstelling is van een rechte met oneindigheid erbij opgenomen.

De interessante quote van Michio Kushi : “ De kortste afstand tussen twee punten is het Oneindige “ is te lezen in “ De lessen van Michio Kushi, De Orde van het Universum, Vol. III, pg. 10, (1967) “.

(3). R.Descartes ( 1596 – 1650 ) , nu beschouwd als de grondlegger van de Moderne Filosofie, durfde zich afkeren van filosofieën van Aristoteles wellicht mede onder invloed van de Bruggeling Simon Stevin (1548-1620) en van Galileo Galilei (1564 – 1642) die o.a. aangetoond hadden dat het idee van Aristoteles omtrent de vrije val verkeerd was.

Zie ook: Biografie : E.V.Dijksterhuis, Simon Stevin, Den Haag Nijhof 1943.

Ook besefte Descartes dat “ twijfel een weg naar zekerheden “ creëert via denkwerk op basis van wiskundige principes, waaronder het vernieuwende aspect van algebraïsche inzichten in de meetkunde waaronder het vaag begrip van punt van Euclides, nl.

“iets dat geen delen heeft”, algebraïsch gesymboliseerd wordt door een koppel ( x , y ) van getallen. Dit mogelijks onder invloed van de ideeën van Jan Stampioen d´Jonghe

( 1610 - 1653 ) met zijn “Algebra ofte nieuwe stel-regel waerdoor alles ghevonden wordt in de wis – kunst , wat vindtbaer is “, Den Haag , 1639 .

Voor Descartes was “ niets ook iets “ en was “materie oneindig deelbaar” en het Godsbegrip als volmaakt wezen, “oneindige substantie”.

Christiaan Huygens (1629 – 1695), die opgeleid werd door Jan Stampioen, maar ook Baruch Spinoza (1632-1677 ), Isaac Newton (1643-1727) en G.W. von Leibniz (1664-1716) lieten zich inspireren door deze nieuwe principes om tot belangrijke vernieuwende inzichten te komen.

Leibniz was in 1674 de eerste om het getal π, nl. de verhouding van een cirkelomtrek tot zijn diameter , te schrijven als een oneindige som van breuken:

π / 4 = 1 - 1/3 + 1/5 – 1/7 + ....

Wat later deed Euler het voor “ het kwadraat van π “ en hij maakte ons bewust van de harmonische verbondenheid van de 5 belangrijke getallen e, i, 1, 0, π nu bekend als

“ de identiteit van Euler “ : e^iπ + 1 = 0.

Tot nu toe, 400 jaar later, blijkt dat inzichten van Descartes toonaangevend zijn geweest. Velen zien dat nu nog altijd niet in, maar de allergrootsten waaronder C.F.Gauss en later Heisenberg, grondlegger van de kwantumfysica, maakten er wel gebruik van …

Er is nogal wat te doen omtrent “Je pense donc je suis”

van Descartes …

De beroemde uitspraken van Descartes

“ Ik denk dus ik ben “ , “ Ik denk dus ik besta “

beschouw ik graag als een aanvulling van

“Ik zie dus ik weet“,

visie van Aristoteles en de

“Ik doe dus ik heb”

van zijn Alexander.

Volgens mij is

“ J´imagine, doute et vérifie donc je me transforme” m.a.w. de basis van het verruimen van ons bewustzijn, iets duidelijker.

Korter uitgedrukt :

“ Ik denk na dus ik word “.

Zij die niet houden van Descartes´ uitspraak vinden misschien de volgende “yogi versie“ boeiender :

“ When I stop thinking then I really am “.

Zie ook Parmenides ( 500 v.Ch. ) en Kitaro Nishida ( 1870 – 1945 ), Stanford Encyclopedia of Philosophy.

(4). “ Orpheus vond de ( spirituele ) getallen uit . Dank zij Lucifer werden getallen verbonden aan kwantiteitseenheden en konden de mensen vrijuit meten , rekenen en bouwen “. Zie Jonathan Black, De Geheime Geschiedenis van de Wereld .

Het Nederlandse woord “cijfer” komt van het Arabische “sifer” dat “nul” of “lege plaats” betekent en dit uit het Sanskriet´s begrip Shûnyata, dat een belangrijk begrip is voor de ervaring van de leegte in het Boeddhisme. Voorafgaand aan ons bewustzijn van getallen ligt, volgens mij, ons primitief begrip van “meer” en “minder” en daarna van het begrip “evenveel” dat ons stuwde naar “hoeveel” met dan een eerste “abstractie van het begrip getal ” dat we dan opnemen in ons bewustzijn als “bestaande”. Deze abstractie werd dan omgezet door de halfgod Orpheus, die uit het noorden kwam met de gave van de muziek, naar getallen die dan omgezet werden door Thales en Pythagoras naar de

“ rationale- en irrationale getallen “.

Maar, wees bewust dat in die tijd getallen vooral door letters of andere symbolen voorgesteld werden …

(5). Vergelijk met de uitspraken van Lao Tse ( 600 v.Ch.):

“De Grote Volheid schijnt leeg te zijn en toch kan men haar niet uitputten”en “ In meditatie ga diep in het hart “.

Vergelijk met de diepste vraag met een suggestie van

S. Kierkegaard : “ Hoe de sprong te maken van de eindigheid naar de oneindigheid ? Door af te dalen in het eigen, diepste zelf en het daar te ontmoeten …”

Vergelijk ook met een Abrahamistische uitspraak : “ Onder invloed van de schepping wijzigt God niet ”.

Vergelijk met het citaat “ De reis naar de hemel is overal vandaan even lang “ die door Cicero aan Anaximander wordt toegeschreven.

R. Dedekind noemde een verzameling oneindig als er een één-op-één relatie m.a.w een bijectie bestaat, met een echte deelverzameling ervan.

Dus, volgens Dedekind is de verzameling van de natuurlijke getallen oneindig vermits er een één-op-één relatie is met de even natuurlijke getallen, die er een echte deelverzameling van is, via de afbeelding f waarvoor f(n)=2n …

Hieruit moet ook blijken “ dat een geheel meer is dan een deel ervan” bij de Algemene Inzichten van Euclides, noodzakelijk eindigheid veronderstelt van dat geheel …. Was Euclides zich daarvan wel bewust ?

De inzichten van R.Dedekind waren belangrijk in die tijd voor de verdere ontwikkeling van de Algebra, zie bv. Stanford Encyclopedia of Philosophy, Dedekind´s Contributions to the Foundations of Mathematics ….. met o.m. “ The extend to which Dedekind´s approach diverged from what had been common, stands out further if we remember two traditional, widely shared assumptions : that mathematics is the science of number and magnitude and that it has essentially to do with calculating and other algorithmic procedures. Relative to such assumptions, Dedekind´s approach to mathematics involves a radical transformation and liberation ( Stein 1988, Tait 1996 )

Merk op dat je de oneindige verzameling van natuurlijke getallen zelfs kan opsplitsen in een willekeurig aantal oneindige deelverzamelingen met bijvoorbeeld als eerste splitsing in even- en oneven natuurlijke getallen …

Hoe je “ oneindigheid “ door prachtige beelden kunt benaderen via “iteraties”, kan je bewonderen via

Youtube : The Mandelbrot Set – The only video you need to see .

(6). De storm van verontwaardiging en onbegrip over Cantor´s ideeën maakte hem neerslachtig en eenzaam.

Aan de basis hiervan lag de vrees van de Katholieke Kerk, dat hun goddelijk begrip omtrent eeuwigheid zou vervangen kunnen worden door een wiskundig begrip omtrent oneindigheid. In de volgende hoofdstukken probeer ik duidelijk te maken hoe die twee bewustvormingen elkaar wel degelijk kunnen versterken.

Een aanhaling uit “ Lettres Persanes “ van Montesquieu komt hier van pas: “ Door psychiatrische sanatoria zo ruim open te stellen voor hun veronderstelde krankzinnigen, proberen de machtshebbers elkaar slechts te verzekeren dat zij zelf niet gek zijn”.

G. Cantor beschreef het probleem op een meesterlijk-poëtische wijze : “ De angst voor oneindigheid is een vorm van bijziendheid die ons belet het werkelijke oneindige te zien, ook al heeft het ons in zijn hoogste vorm geschapen en onderhoudt het ons, en zien we het in zijn secundaire, transfiniete vorm overal om ons heen en woont het zelfs in onze gedachten “.

Vergelijk ook met een citaat van Blaise Pacal (1623 – 1662) : “ De eeuwige stilte van de oneindige ruimten beangstigt me “…

(7). Jonathan Black, De Heilige Geschiedenis van de Wereld … pg. 135 .

Je zou ook kunnen zeggen dat Abraham bewust werd van

“ de noodzaak van de keuze van een eenheid om tot een waardevollere structuur te komen “, een fundamenteel algebraïsch principe dat samengaat met de bewustvorming van algebraïsch veld, dan later met algebraïsche ringen en nog later met categorieën …

(8). Jonathan Black, De Geheime Geschiedenis van de Wereld … pg. 403 ,

H.P.Blavatsky, “Isis ontsluierd” en “De Geheime Leer, De

synthese van wetenschap, religie en filosofie.

Je zou je kunnen afvragen hoe dicht de ideeënwereld van Blavatsky aanleunt bij de ideeënwereld van Pythagoras …

(9). Anselm en Michael Grün, God en de kwantumfysica, Altiora Averbode 2016.

Julian Barbour ( Univ. Oxford ), “ Janus-Point”, Timeless Physics.

J.M.E. Mc Taggart (1866-1925 ) Trinity College, Cambridge, “The unreality of Time …”, “ The Nature of existence”

Max Tegmark (MIT ), 2007 “The Mathematical Universe”,

General Relativity and Quantum Cosmology, arXiv.org >gr-qc >arXiv : 0704.0646 Cornell University Library

Antony Aguirre, Max Tegmark, 2012 “Born in an Infinite Universe : a Cosmological Interpretation of Quantum Mechanics”, Quantum Physics, arXiv.org>quant-ph>arXiv : 1008.1066 Cornell University Library.

George Ellis, Philosophy of Cosmology Infinities of age and size – Part 1 and 2, Youtube

with : “Infinity is NOT a very big number” …

Inderdaad, zolang een natuurkundige zich daarvan niet bewust is zal hij VEEL “ singulariteiten “ ontmoeten …

Veel natuurkundigen zijn blijkbaar nog altijd onder de indruk van “zeer grote” getallen, zelfs na studie van

“ Relativiteits Theorieën “ van Einstein …

John Hagelin, Maharishi University of Management :

“ Is Consciousness the Unified Field ? “ , scienceandduality 2014 .

Infinity : The Science of Endless,

World Science Festival, Youtube

Boeddha – Cantor – Gauss tijd

"Certainty is absence of infinity, infinity is presence of uncertainty"

Ñanamoli Thera

Elke stroming binnen de filosofie, fysica en wiskunde meende waarheden te bevatten.

In het Oosten was men daaromtrent wat voorzichtiger … De Zen-monnik, Meester Shiran zei eens : “Alles in deze wereld is een leugen, dat is de enige waarheid”.

Ook A.N.Whitehead was overtuigd van : “ There are no whole truths, all truths are half-truths “.

Er is veel, zeer veel te lezen over de fysica en metafysica vanaf de Grieken, de wiskunde en metawiskunde vanaf D.Hilbert in Göttingen en over metatheorie in het algemeen. Dit alles draagt wel bij tot wat meer zekerheden maar niet tot meer zekerheid.

Vandaar de “ Übermensch “ creatie van Nietzsche, een geheel nieuwe mens die met verlies aan “houvast, zekerheid en betrouwbare roeping” zou kunnen leven ….

De onvolledigheidsstellingen van Gödel maakten een einde aan de grondslagenstrijd tussen verschillende filosofische stromingen, maar er blijft onenigheid over de geldigheid en bewijsmethodes van stellingen. Er ontstaan andere onenigheden met daar bovenop een fundamentele onzekerheid. Niet te verwonderen dat Jacob Bronowski verklaarde : “ De menselijke kennis is persoonlijk en verantwoordelijk, een nooit eindigend avontuur op de rand van onzekerheid.“

De agnost en Nobelprijswinnaar Bertrand Russell (1872-1970) leerling van A.N.Whitehead en medeauteur van de “Principia Mathematica” en één van de meest invloedrijke filosofen van de vorige eeuw, bouwde mee aan de fundamentele onzekerheid door te stellen dat :

“ Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true ” …

“ The splendid certainty which I had always hoped to find in Mathematics, was lost in a bewildering maze “ …

Een interessante quote hierbij van Sherlock Holmes is :

“ When you have eliminated all that is impossible, whatever remains must be the truth, no matter how improbable “ …

De Fields-medaille winnaar 1974, Enrico Bombieri stelt het wat anders voor in “ The Mathematical Truth”, Video Lecture, Institute of Advanced Study Princeton ….

Ook interessant hierbij zijn beschouwingen van de Fields-medaille winnaar in 2002, Vladimir Voevodsky in een Video Lecture, Institute of Advanced Study Harvard :

“What if Current Foundations of Mathematics are inconsistent ? “

Hij beschouwt daarin zijn ….

“ Gödel´s paradox :

We know that the first order arithmetic is consistent

but, it can be proved that it is impossible to prove that the first order arithmetic is consistent “.

Deze fundamentele onzekerheid werd ook gevoed door de grote ruzie tussen de Nobelprijs winnaars Einstein en Bohr met hun beroemde uitspraken :

Einstein : “ God speelt niet met dobbelstenen “

Bohr : “ Stop met voor God te spelen , zeg

niet wat hij doet en niet doet “

Zij hebben ook duidelijk een verschillende spiritualiteit, een ander gevoel over oneindigheid, een ander geloof resulterend in een ruzie over waarschijnlijkheden….

In zijn repliek toont Bohr duidelijk zijn affiniteit met

“de Tao : alles wat is en niet is “. Niet te verwonderen dat zijn confrontatie met de subatomaire wereld hem een diep respect bijbracht voor deze Oosterse YIN-YANG filosofie.

De belangrijke Japanse filosoof Kitaro Nishida ( 1870 – 1945 ) trachtte een brug te bouwen tussen die Oosterse Yin – Yang filosofie en de moderne westerse filosofieën, (1) .

In de moderne fysica heeft de niet-deterministische Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica met de “onzekerheidsrelatie” ingevoerd door de Nobelprijs winnaar W. Heisenberg zich meer en meer opgedrongen, (2) Daarmee suggereerde Heisenberg dat we best “onzekerheid koesteren in plaats van ons ervan te willen bevrijden” , om in een hoger bewustzijn te kunnen komen … indien je dat verlangt.

Het is dan ook niet verwonderlijk dat zo vele fysici e.a. uiteindelijk in een uitzichtloze toestand terecht kwamen, wellicht omdat ze overtuigd waren dat er in die subatomaire wereld zekerheid bestaat die ze maar niet konden vinden … Misschien omdat ze “ God bestaat ” afspiegelen op

“ Zekerheid bestaat ”, het niet vonden en absoluut onzeker werden omdat ze – net zoals Orpheus – de fout maakten dat ze zekerheid wilden hebben “, (3).

Die overtuiging is wel zeer verwonderlijk vermits die niet kan komen uit dagelijkse levenservaringen waar toch ook zoveel onzeker is, want ……

Neem nu “klok-tijd” met een getalmodel dat een afspiegeling is van de omwenteling van een roterende aarde om de zon en een niet-roterende maan rond de aarde ,( 4). Deze klok-tijd is heel gebruiksvriendelijk in onze practische dagelijkse beslommeringen en een eenvoudig lineair tijd-model in de fysica … die soms

“ wetenschappelijke tijd “ wordt genoemd.

Maar, Einstein toonde aan dat die klok-tijd enkel praktische zekerheid biedt in een redelijk interval van het eindige. Immers, bij grote afstanden en snelheden wordt het relatieve van die klok-tijd opdringeriger, want voor een waarnemer met een klok in rust en met een klok bewegend t.o.v. hem met zeer grote snelheid, ZAL VOOR HEM verschillende klok-tijd metingen opleveren ….

Daarom zag men toen in dat de klassieke driedimensionale structuur van de ruimte niet meer afzonderlijk mag beschouwd worden van het gekozen ééndimensionale klok-tijd begrip. M.a.w. men kwam tot het inzicht dat de niet-Euclidische ruimte van Minkowski beter paste bij Einstein´s relativiteitstheorie.

De ruimte van Minskowski is een structuur van ruimte en klok-tijd beschouwd als twee aspecten van een geünificeerd geheel, waarin Einsteins speciale relativiteitstheorie is geformuleerd, blijkbaar een Taoïstisch principe …

Minkowski verklaarde in 1908 :

“ De visie op ruimte en klok-tijd die ik aan u wil voorleggen vindt zijn oorsprong in de experimentele natuurkunde en daarin schuilt ook zijn kracht. Het is een radicale visie. Van nu af aan zijn ruimte en klok-tijd op zichzelf gedoemd om langzamerhand in de schaduwen te verdwijnen en zal slechts een soort vereniging van de twee als een onafhankelijke realiteit voortleven ” , (5) .

Wiskundig werd hiermee de niet-commutatieve

4-dimensionale quaternionen algebra verbonden, die door Hamilton gecreëerd werd om het veld van de complexe getallen verder uit te breiden, (6).

Maar, het is interessant om zien hoe toch nog altijd natuurkundigen, filosofen e.a. blijven worstelen met “Kosmische - Tijd” beschouwingen …

Wellicht daarom het recent boek “ Time Reborn “ van Lee Smolin en “ The Singular Universe and Reality of Time “ van Lee Smolin and R.M.Unger.

Lee Smolin verklaarde in :

“The Theater of the Infinite“ Art, Science and Wonder 2015

…” The question at the heart of physics is whether Time is fundamental or an illusion “…

Mijn standpunt, dat ik hierna wil verduidelijken, is dat het antwoord afhangt van wat als “ Kosmische - Tijd “ gedefinieerd wordt en DAARBIJ welk “ abstract model voor die gedefinieerde Kosmische - Tijd “ gekozen wordt …

Daarvan zal het afhangen in welke mate “ die Kosmische - Tijd “ meer of minder fundamenteel is …

M.a.w. in feite wordt het door eigen keuzes van bewustvormingen daaromtrent, bepaald ……

Kan het begrip “Kosmische - Tijd” soms niet verbonden worden met onze bewustvorming omtrent de fundamentele wet in het Universum dat ….

“ Alles Verandert ” ?

Dus, zo zou je misschien kunnen stellen dat “Kosmische - Tijd” niet alleen zou kunnen behoren bij beweging van materie maar ook van onze gedachten…

De vraag “is time fundamental or an illusion“ kan je best eerst en vooral vergelijken met een analoge vraag na het definiëren van de imaginaire getallen door C.F. Gauss, tweehonderd jaar geleden: “Are imaginary numbers fundamental or an illusion ? ” … Zowat honderd jaar later toonde Heisenberg aan dat “oneindige matrices over imaginaire getallen” aan de basis liggen van “ ons best abstract model om kwantumfysica te begrijpen en te verklaren “…

Daarom zijn voor mij en sommige natuurkundigen

“ imaginary numbers fundamental “, maar dat belet niet dat ze kunnen ingebed worden in nog algemenere strukturen die ook “ fundamental “ zijn of het zullen zijn , als ze iets te betekenen hebben met betrekking tot de Werkelijkheid …

Dus, laten we daarop wat dieper ingaan :

Stephen Hawking´s idee omtrent een “ imaginaire tijd “

diende als aanvulling van de gebruikelijke,

“ lineaire klok - tijd beschouwing in de fysica “, (7).

Maar, zijn idee kan in verband gebracht worden met het oud klassiek Griekse begrip omtrent “ de twee gezichten van tijd “ nl. Chronos en Kairos.

Toen werd Kairos beschouwd als de rebelse kleinzoon van opa Chronos die een nieuwe dimensie van tijd opent, nieuwe inzichten verschaft en voor ommekeer zorgt door samenballen van verleden-heden-toekomst in het NU tot volheid van een visionair ogenblik, (8).

Je zou kunnen zeggen dat Chronos-tijd m.a.w. klok - tijd verbonden is aan,

“ dingen die bewegen in de door de zon beschenen wereld van de werkelijkheid “

en Kairos-tijd verbonden is aan,

“ ideos die ontstaan in de door de maan beschenen wereld van het leven “.

Daarbij past dan het begrip “Eeuwigheid” en het oneindigheidsbegrip Zero-tijd m.a.w. een “ abstracte tijdloosheid NU “ , overeenkomend met het Griekse begrip Aion-Phane m.a.w.

“ scheppende eeuwigheid met cyclisch karakter “

en overeenkomend met het Indische begrip Kala.

Algebraïsch zou je dan zo´n “ Kosmische - Tijd “ of

“ Kosmische verandering “ kunnen modelleren via TWEE variabelen: t(C) voor de Chronos-tijd en t(K) voor de Kairos-tijd, verbonden in de tweedimensionale vector t(C)( cos t(K) + i sin t(K) ) of m.a.w. t(C)e^it(K) in het vlak van Gauss…. met de oorsprong als symbool voor de

“ abstracte tijdloosheid NU “…

M.a.w. rechten door een punt met cirkels rond dat punt zouden dan aan de basis liggen van zo´n

“ Kosmisch tijd - model “.

Ook de Oosterse wijzen zijn zich bewust dat er tijdens meditatie via aandacht, rust en concentratie, behorende bij Kairos , andere tijdservaringen zijn door ons dichter bij

“een abstracte tijdloosheid NU “ of Zero – tijd te brengen of anders gezegd, bij het zogenaamde “spirituele vaccuüm“ verbonden met de “ kosmologische constante” van de Westerse denkers, (9).

Je zou dus nu hiermee kunnen zeggen dat Chronos-Kairos het Yin-Yang aspect is van de tweedimensionale gekozen

“ Kosmische - Tijd met de abstracte tijdloosheid NU “.

die ik graag

Boeddha-Cantor-Gauss ( BCG ) – tijd

noem…

Dus, voor mij is “ Time fundamental and not an illusion “ en behoort het bij “ The Dawn of Chaos “ m.a.w. bij de Chinese bewustvorming “ Zao Wu “ , a two dimensional consciousness belonging to the existence of the Universe …

Vermoedelijk is mijn keuze een steun voor Lee Smolin …

Hiermee krijgen we dan inzicht in het volgende :

- We ervaren via onze zintuigen heel duidelijk in de werkelijkheid dat we “de klok - tijd niet kunnen omkeren”, weerspiegeld in onze welbekende gekozen lineaire afbeelding van klok - tijd. Maar met zo´n BCG- tijdmodel, in de wereld van ideos van Plato, is zo´n tijd-begrip wel omkeerbaar nl. via onze concentratie. We kunnen ons “terug in de tijd“ brengen m.b.v. onze concentratie, wat we als

“ het verleden “ in ons bewustzijn ervaren…

Dit zou dan overeenkomen door zich in de BCG – tijd structuur te kunnen concentreren op t(K) = π , want dan is

t(C)( cos (π) + i sin (π) ) = - t(C)

en dus negatief, m.a.w. zich in het verleden brengen met betrekking tot Chronos … ,(10).

Blijkbaar is het wetenschappelijk interessant om het

2-dimensionaal algebraïsch afgesloten veld van de complexe getallen van C.F.Gauss te betrekken bij

“ Kosmische - Tijd ” ... die dan samen met de klassieke 3-dimensionale ruimte een 3+2 = 5 dimensionale “ space-time “ ruimte vormt, die de Minkowski ruimte omvat, en een algebraïsche basis vormt voor een vijf dimensionale

Time – Space - Chaos ...

Op die manier kan men ook aansluiten bij het religieus begrip omtrent : “ twee onbegrensde eons naast de 3+2 = 5 begrensde eons “, behandeld in het Nieuwe Testament.

De volgende quote van W.Blake :

“Eternity is in love with the productions of time”

kunnen we dan wat algebraïscher weerspiegelen in :

“ Eternity with BCG-time, creates a 5-dimensional BCG-space which is an extension of the 4-dimensional Minkowski space ”

en daarmee tot een verruimd model komen, verbonden met een 5-dimensionale algebra die de 4-dimensionale quaternionalgebra van Hamilton omvat, met als gevolg een theorie in de fysica, steunende op variabelen

x, y, z, C(t), e^iK(t)

met, hopelijk daarin, wat minder singulariteiten …. ,(7).

Misschien staat die algebraïsche verruiming wel in verband met het feit …

- dat bij Adiyogi de basisstructuur 5 dimensionaal is.

- dat Minkowski (1864-1909), toen nog maar 17 jaar oud, zich bezig hield met het zoeken hoe elk getal kan geschreven worden als de som van 5 kwadraten en daarvoor een gedeelde

“ Grand Prix des Sciences Mathématiques “

heeft bekomen op 18 jarige leeftijd ...

- dat Theodoor Kaluza (1885-1954) probeerde, door het invoeren van een vijfde dimensie, een bijdrage te leveren aan de theoretische fysica om het electro-magnetisme te verenigen met

Einstein´s theorie van de zwaartekracht.

Hij bracht Einstein hiervan in 1919 op de hoogte en verkreeg zijn steun voor publicatie van zijn resultaten. Sinds de opkomst van de string-theorie is de Kaluza-Klein theorie weer hoogst actueel, (11)..

In een volgend hoofdstuk kom ik op dat verruimd model terug in verband met het “object-subject” aspect bij waarnemingen omtrent de Werkelijkheid.

Aanvullende filosofische beschouwingen omtrent “ tijd ”, zie :

“ Time in Contemporary intellectual Thought “, edited by Patrick Baert, University of Cambridge Elsevier, 2000.

(1). Nishida Kitaro beschouwde het zijnde en niet-zijnde als dualistisch en elkaar bepalend. Het beroemdste concept van hem is de “logica van de basho”, vermoedelijk verwijzend naar de beroemde Zen-Boeddhist-dichter Matsuo Basho. Deze niet-dualistische concrete logica, bedoeld om de ontoereikendheid van het onderscheid object-subject te overwinnen ( dat zo essentieel is in de subjectlogica van Aristoteles en de predicatenlogica van Kant ) door de bevestiging van wat hij noemt “ een absoluut contradictorische zelf-identiteit “, een dynamische spanning van tegengestelden die niet oplost in een synthese maar eerder zijn eigen subject definieert door de spanning tussen bevestiging en ontkenning als tegengestelde polen of perspectieven vast te houden. Zie, Stanford Encyclopedia of Philosophy .

Het was de bedoeling van G.Ohsawa en zijn leerling Michio Kushi in de vorige eeuw om deze zeer oude Oosterse filosofie in de dagelijkse realiteit aan te tonen. Zij verwoordden het door : “De Orde van het Oneindig Universum”. Maar, zeer weinigen begrijpen het …

Vergelijk met de uitspraak van Heraclitus (540-480 v.Chr.) : “Er zit waarheid in een zaak en haar tegendeel”

Vergelijk ook met het begrip “coincidentia oppositorum” van Nicolaus von Cusanus (1404-1464).

Vergelijk ook met de uitspraak van S.Kierkegaard ( 1813-1855 ): “ De waarheid is een samen-stelling van onverbindbaarheden, die desondanks zijn samen-gesteld “.

(2). Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg houdt in dat het onmogelijk is dat we zowel de exacte plaats van een subatomair deeltje als zijn exacte impuls (= zijn snelheid vermenigvuldigd met zijn massa ) kunnen bepalen. Hoe nauwkeuriger de positie des te onnauwkeuriger is de impuls bekend en omgekeerd. Men leidt daaruit af dat er buiten onze waarneming geen objectieve werkelijkheid is, zelfs geen objectieve plaats van een deeltje. Indeterminisme d.w.z. het niet – opgaan van strikte causaliteit is noodzakelijk. Zekerheid moet plaats maken voor “onbepaaldheid en waarschijnlijkheid “ m.a.w. men kiest een model dichter bij “ het dualistisch en elkaar bepalende Zekerheid met niet-Zekerheid “.

Voor recente beschouwingen omtrent deze problemen

zie bijvoorbeeld boeken van Roland Omnès, Princeton University Press maar ook een Review by William Faris of Roland Omnés, The Interpretation of Quantum Mechanics, Notices of the American Mathematical Society 1996 met o.a. “ The challenge remains : interpret quantum mechanics on its own terms, without appeal to authority, in a way that makes sense to reasonable people. This challenge has not yet met an adequate response …”

D.Wick, The infamous boundary : Seven decades of controversy in Quantum Physics, Birkhouser N.Y. 1995.

(3). S.Kierkegaard (1813-1855) in “Denken en Zijn” : We kunnen ons nooit beroepen op een objectieve, algemeen mededeelbare zekerheid. Integendeel, de objectieve onzekerheid volgehouden in de toewijding van de hartstochtelijkste innerlijkheid is de waarheid, de hoogste waarheid die er voor een existerende is …..

De volgende uitspraak van W. Heisenberg is bekend :

“ De eerste slok uit de beker van de natuurwetenschap maakt atheïstisch, maar op de bodem van de beker wacht God “.

Tussen “ Zandkorrels en Zeeschuim “, in “ Spiegels van de Ziel “ van Kahlil Gibran, Servire Uitgevers, bv, Utrecht 1994, vinden we : “ Religie en Wetenschap houden op te bestaan als Schoonheid wordt bereikt “ ….

Zie ook: “The closed mind of Richard Dawkins” by John Gray met o.m.: “His atheism is its own kind of narrow religion”.

(4). Het begrip “ klok - tijd ” werd door onze voorouders gedefinieerd rekening houdend met de omwenteling van een roterende aarde rond de zon in, afgerond, 360 =

6 x 60 = 12 x 30 dagen, 12 maanden door rekening te houden met de omwenteling van de maan rond de aarde en ook 4 x 90 graden. Maar waarom werd 24 uren een maatstaf voor de rotatie van de aarde om haar as ?

Naast het getal 1, dat vooral verbonden werd met religie en spiritualiteit, waren de getallen 2 en 3 en hun produkten nl. 2 x 2 = 4 , 2 x 3 = 6 en 3 x 3 = 9 de voor de hand liggende eerste getallen. Hierna volgt dan het produkt 2 x 3 x 4 = 24 en de vraag of 24 uren een goede

getalindeling zou kunnen zijn voor één rotatie van de aarde om haar as. Vermits 24 = 2 x 12, past aldus goed

12 uren voor de dagduur en 12 uren voor de nachtduur. Die 12 uren voor de dagduur kan dan beschouwd worden als 2 x 6 nl. 6 uren voor een stijgende zon naar de middag en 6 uren voor de dalende zon naar de avond. Een volledige symmetrie kan dan verkregen worden door die 6 uren telkens te halveren zodat de 12 uren ook kunnen verdeeld worden in 4 x 3 uren. Hun keuze ligt dus aan de basis van onze uurwerken nl. een cirkelschijf met de getallen 1, 2, 3, ….11, 12 maar soms ook met de minimale getallen 3, 6, 9, 12 m.a.w. een kwadrantverdeling 4 x 3

van de cirkel. De verdere verdeling van 1 uur = 60 minuten = 60 x 60 seconden werd gemaakt omdat 60 van alle tientallen het meest aantal delers heeft, nl. 12 en daarbovenop 60 ook gelijk is aan 5 x 12 ...

Algebraïsch beschouwd steunt de tijdsindeling die gekozen werd op de bewustvorming van

“ modulo 12 rekening “ dwz. bewustvorming van de commutatieve ring

Z-modulo 12 , die een cyclisch karakter weerspiegelt …

Merk op dat 12 het kleinste natuurlijk getal is met een niet-triviale priemontbinding nl. 12 = 2².3 .

Niet te verwonderen dat Pythagoras en zijn vrienden het getal 12 “ heilig “ benoemden en dat het Platonisch lichaam

“ dodecaëder “ met zijn 12 vlakken van regelmatige vijfhoeken en 20 hoekpunten verbonden werd met de Ether, toen als het allerhoogste ervaren …

M.C.Escher toonde ook aan d.m.v. 12 stappen hoe hij het beeldvlak, op een soms spectaculaire wijze, vult via 12 stadia van groei en metamorfose, zie blz. 159 in het reeds vermelde boek: Leven en werk van M.C.Escher.

Nu blijkt 12 ook fundamenteel te zijn in het “ New Periodic System “ van David Tong in “ Ri, Quantum Fields : The real building Blocks of the Universe", zie Youtube 2016.

Daar vermeldt hij dat een geheel van “ 12 particles with its 12 fields “ aan de basis ligt van “ het … of zijn “ universum.

(5). In de oudheid waren “ Goddelijke wezens “ verpersoonlijkingen van “ abstracte begrippen “ die belangrijk waren in het bestaan van de mensen. Zo ook voor de “ abstracte tijd “ : naast de Griekse goden Chronos en Kairos hadden de Feniciërs “ Eon “, de Indiërs “ Kala “, de Perzen “ Zurvan “ en de Egyptenaren “ Ra “. Maar volgens de filosoof Eudemus van Rhodos (4^de eeuw v.Ch.) was het tijd-aspect dikwijls verbonden met het ruimte-aspect. Minkowski heeft het belang daarvan opnieuw ingezien en kon Einstein daarvan overtuigen.

(6). In zijn pogingen om het veld van de complexe getallen a+bi nog verder uit te breiden naar een ruimer veld, realiseerde Hamilton zich dat het maar kon door de eis van de commutativiteit van de vermenigvuldiging te laten vallen.

Zijn elementen a+bi +cj +dk met de eigenschap dat

i² = j²= k ²= i.j.k = -1 en daaruit volgend i.j = -j.i = k ,

j.k = -k.j = i en k.i = -i.k = j worden de quaternionen van Hamilton genoemd en vormen een structuur die alle eigenschappen bezit van een veld op de commutativiteit van de vermenigvuldiging na. Dat wordt soms een lichaam

( division ring ) of een niet-commutatief veld genoemd.

De veeltermvergelijking x² + 1 = 0 die geen reële oplossingen heeft maar wel twee complexe, heeft nu zelfs oneindig veel oplossingen nl. alle quaternionen bi + cj + dk waarvoor b²+c²+d² = 1. Dus o.a. cos(t) i + sin(t) j , voor alle mogelijk waarden van t, zijn oplossingen wegens de grondstelling van de goniometrie die stelt dat

cos²(t )+ sin²(t ) = 1, voor alle t.

Deze belangrijke bewustvorming toont in feite aan dat niet-commutativiteit en oneindigheid op een of andere manier met elkaar verbonden zijn.

Uit deze beschouwingen blijkt ook dat een WAARHEID voor een persoon afhankelijk is van de graad van zijn bewustzijn. Immers, is die persoon enkel bewust van reële getallen dan is de uitspraak “ dat er veeltermen bestaan die geen wortel hebben” voor hem een WARE uitspraak. Maar voor een persoon die zich bewust is van komplexe getallen is dat GEEN WARE uitspraak, omdat Gauss bewees dat veeltermen altijd een komplexe wortel hebben.

Niet te verwonderen dat S.Kierkegaard (1813-1855 ) stelde dat : “ De waarheid is aan elk individu eigen en voor elk individu anders “.

(7). Zie Youtube, The end of Space and Time ? – Robbert Dijkgraaf, Gresham College.

Zie ook ” The Cauchy Problem in General Relativity,

Hans Ringström, Dept. Math., KTH, Royal Institute of Thechnology, Stockholm, Sweden “, 2014 :

“ In the 50´s and 60´s, the work of Hawking and Penrose shed important light on the issue of singularities. What Hawking and Penrose proved was, roughly speaking, that spacetimes generally exhibit singularities.

The question arose : are the singularities physical or a consequence of a high degree of symmetry of the

solutions ?

Einstein himself thought that singularities would not appear in less symmetric solutions “ …

Inderdaad, die “ symmetric solutions “ zijn volgens mij een gevolg van de keuze die gemaakt wordt in “ de wereld van ideos van Plato “ die behoort bij “ de wereld van de dingen van Plato “ die daar je aandacht trekken … Je hoeft dus toch enkel maar andere keuzes te maken in die ideos wereld, die beter aanleunen bij de wereld van de dingen, die daar je aandacht trekken ?

Maar, DAT is blijkbaar niet zo eenvoudig …

De keuze van het concept van imaginaire tijd is blijkbaar zo´n interessante keuze, want, zoals Hans Ringström verder verklaart :

“ The concept of imaginary time is useful in cosmology because it can help to smooth out gravitational singularities in models of the universe ( see Hartle – Hawking state ) where known fysical laws do not apply.

The Big Bang , for example , appears as a singularity in

“regular time”. But, when visualized with imaginary time the singularity is removed and “the Big Bang functions “ …

(8). Zie ook de Nobelprijswinnaar Henri Bergson, 1859-1941 met “ L´Évolution créatice “, 1907 met als jury rapport van de Nobelprijs voor Literatuur in 1927 : “ De creatieve evolutie is een gedicht van opvallende grootsheid, een verhaal met een ongekende reikwijdte en niet aflatende kracht “. Er is nu een recente vertaling door Joke van Zijl,

“ De creatieve evolutie “ ISVW Uitgevers 2018 waarin we o.a. kunnen lezen :

Wat is verandering, wat is tijd en wat is bewustzijn ?…

“ De Tijd is óf schepping óf helemaal niets “…

Herstellen van de samenhang tussen intuïtieve en intellectuele kennis…

Zie ook Martin Heidegger in “Zijn en Tijd” en Joke Hermsen in “ Kairos-een nieuwe bevlogenheid” en “ Stil de Tijd “, 2009 met een pleidooi voor een “innerlijke” tijd als aanvulling voor “klok” tijd, beide essentieël. Binnen de innerlijke tijd voegen alle momenten zich samen tot één geheel. Het hele verleden wordt dus meegedragen in de innerlijke tijd.

Hier past het ook om even stil te staan bij de bekende quote van H.Berlioz: “ Time is a great teacher, but unfortunately it kills all its students “ …

Je zou kunnen stellen dat het zo is voor Chronos-Time, maar is dat nu ook wel zo voor Kairos-Time …?

Dus, misschien toch wel interessant om Kairos in je bewustzijn op te nemen … ?

(9). Vergelijk dit ook met een uitspraak van Ernst Bloch :

“ Pluk de eeuwigheid in het ogenblik “.

Het ogenblik of moment of het heden, dat bewustzijn is, is werkelijk en eeuwig . Het is een eeuwig veld van mogelijkheden in de vorm van abstracte krachten. De interpretatie van deze abstracte krachten geeft ons een indruk van concrete verschijnselen en vormen.

De natuurkundige betekenis van de kosmologische

constante in de kwantummechanica is de energie-inhoud van het vacuüm .Deze energie-inhoud is niet nul wegens het bestaan van “virtuele deeltjes” in het vacuüm. Virtuele deeltjes ontstaan uit energie als een systeem van deeltje met zijn anti-deeltje, die elkaar dan binnen de beschikbare tijd weer annihileren, ook een Taoïstisch principe…. zie ook in een volgend hoofdstuk.

(10). Merkwaardig daarbij is dat S.Hawking onlangs is overleden op 14 maart, World π Day … dat ook de verjaardag was van A.Einstein en …. goed past in Pythagora´s metamatica van getallen.

(11). See, Hermann Weyl (1885 – 1955 ), A Biographical Memoir, by Michael Atiyah, National Academy of Sciences, vol. 82, 2002 Washington DC

met o.m. :

H.Weyl, a student of Hilbert, wanted to extend Einstein´s general relativity, which explained gravity in geometrical terms, to incorporate electromagnetism. Weyl´s idea was to introduce a scale, or gauge, that varied from point to point ( idea of Leibniz ? ) and whose variation round a closed path in space-time would encapsulate the electromagnetic force.

Although Einstein didn´t agree, the idea was too beautiful to disgard, and Maxwell´s equations came out like magic. Later, Oscar Klein proposed that Weyl´s gauge should be viewed as a phase and that space – time should be viewed

as having a fifth dimension consisting of a very small circle.

Mathematically Weyl´s gauge variable gets multiplied by the complex number “i” and is periodic. This point of view, called the Kaluza - Klein theory, is now generally accepted. Moreover, it is just the first stage in the enlargement of ordinary space – time.

The past 25 years have seen the rise of gauge theories – Kaluza – Klein models of high dimensions, string theories, and now M-theory, as physicists grapple with the challenge of combining all the basic forces of nature into one all embracing theory.

"Het zijn de categorieën van het denken die de werkelijkheid, zoals ze ons voorkomt, bepalen"

I.Kant

Vertrouwde zaken loslaten is soms zeer moeilijk, zowel dingen als ideeën. Dat het interessant is om commutativiteit los te laten in onze abstracties, besefte men bij de relativiteitstheorie met de bewustvorming van de Minkowsky ruimte, waarbij de niet-commutatieve quaternion algebra van Hamilton als wiskundige basis kan dienen. Maar dit was ook zo bij de studie van de kwantumfysica waar samenstellingen te voorschijn kwamen die zich niet meer “commutatief gedragen” en voor heel wat problemen zorgden.

Marcus du Sautoy illustreert dat met rotaties van zijn dobbelstenen bij de kwantificatie van onzekerheid, in de Derde Rand van zijn boek, “ Wat we niet kunnen Weten “.

Hij vermeldt daar ook :

“ Misschien zijn mijn problemen met de kwantumfysica wel helemaal geen echte problemen, maar een consequentie van de beperkingen van oude taal en oude verhalen “.

Natuurlijk is dat zo, want het fundamenteel probleem is dat onze meeste wiskundige modellen gestoeld op commutativiteit, (1), duidelijk niet geschikt waren om de nieuwe subatomaire verschijnselen te verklaren.

Velen beseffen nog altijd niet dat meer aandacht moet besteed worden aan niet-commutatieve algebra. Maar Hilbert in Göttingen besefte dat wel want als eerste doceerde hij over kwantum mechanica en wel met een cursus over integraal vergelijkingen en lineaire algebra.

De lineaire algebra met zijn concrete matrices, (2) leent zich in eerste instantie goed voor niet-commutativiteit want daar is het produkt van vierkante matrices A en B niet commutatief d.w.z. het produkt AB is niet noodzakelijk gelijk aan het produkt BA.

Het is dus niet verwonderlijk dat Heisenberg, die een leerling was van Hilbert, matrix algebra als basis nam voor zijn visie op kwantum mechanica en anderen van het nut ervan kon overtuigen, waaronder J. von Neumann en

P. Dirac .

Ook ontstond later het besef dat niet zozeer de objecten

(getallen, verzamelingen, structuren, dingen …) maar samenstellingen tussen objecten (matrices, operatoren, morfismen, …) ons meer inzicht kan bieden om nieuwe verschijnselen te begrijpen en verklaren.

In feite toonde G. Cantor dat ook reeds aan nl. dat een goed begrip van injecties , surjecties en bijecties inzicht geeft omtrent het begrip oneindig in de categorie van de verzamelingen.

Verdere abstractie zal zich opdringen en zal ons verplichten meer aandacht te besteden aan de zgn. categorie theorie. Dit is zeker geen eenvoudige theorie precies omdat zoveel vertrouwde begrippen en vertrouwde redeneringen los gelaten moeten worden, (3).

Alleen al de verruiming van onze klassieke commutatieve modellen naar niet-commutatieve modellen is soms al een zeer moeilijke oefening, met Hamilton´s inspanningen als eerste voorbeeld. Voor recente moeilijke oefeningen ervan in de meetkunde, zie Journal of Noncommutative Geometry, uitgegeven door de European Mathematical Society.

Niet te verwonderen dat iemand verklaarde :

“ The basic philosophy of category theory, that one should pay more attention to the arrows between objects than to the objects themselves, was applied by Grothendieck to hard pieces of mathematics …”

De inversiebiliteit, een fundamenteel begrip in de wiskunde, toont ook op een eenvoudige manier aan dat niet-commutativiteit meer aandacht verdient . Inderdaad,

zijn a en b inversiebele elementen in een commutatieve algebra dan is (ab)^-1 = (a^-1).(b^-1) , maar zijn A en B inversiebele elementen in een niet-commutatieve algebra, bv. matrices of morfismen in categorieën, dan is (AB)^-1 niet altijd gelijk aan

(A^-1).(B^-1)

maar wel altijd gelijk aan

(B^-1) .(A^-1)

omdat

(AB).(B^-1 A^-1) = (B^-1 A^-1).(AB) = 1 .

Dat fundamenteel begrip van inversiebiliteit behoort bij het inzicht dat “inversiebiliteit” een voorbeeld is van het begrip “ involutie * ” in categorieën nl. een involutie * in een categorie is gedefinieerd op de morfismen als,

I* = I, (f*)*= f en (fg)* =g* f* m.a.w. het is een speciale dualiteit, (4). Bij elk morfisme f behoort dus automatisch het morfisme f* met hun “duale morfismen” ff* en f*f en, is f bovendien inversiebel m.a.w. een isomorfisme dan zijn ze mooi verbonden in de relatie f^-1 = f*(ff*)^-1 = (f*f)^-1 f* .

Hier vinden we een aanknopingspunt met het prachtig, complex heilig ontwerp Sri Yantra of Sri Chakra in de Hindoeïstische Tantra tradities. Daar is involutie het omgekeerde van evolutie en betekent daar …

“ terugkeer naar de goddelijke bron van het Universum “.

Het is belangrijk om in te zien dat de commutatieve wiskundige modellen die we in het verleden succesvol konden gebruiken om werkelijkheden te begrijpen, behoren bij de speciale toestand dat de identieke afbeelding in de daarbij horende categorieën ook een involutie * is. De commutativiteit volgt immers uit deze eis want dan is ab = (ab)* = b*a* = ba , m.a.w. er is commutativiteit.

Onder de categorische involuties van belang in de kwantum mechanica is er het complex toegevoegde nemen van een complex getal nl. (a+ bi)* = a – bi , (5) en daarmee samenhangend, de geadjungeerde A* nemen van een matrix A over de complexen d.w.z. de getransponeerde nemen en van elke componente ervan het complex toegevoegde nemen . Hun dualen A*A en AA* zijn dan Hermitische matrices die enkel reële eigenwaarden hebben en aanleiding geven in de kwantummechanica tot meetbare grootheden.

De dualen van morfismen t.o.v. een involutie * zijn niet altijd even interessant : in de categorie van de reële getallen t.o.v. * = 1 is wortel 2 irrationaal en zijn duaal 2 rationaal. Daartegenover is het duaal van het irrationaal getal pi nl. (pi)² ook irrationaal, wat Euler ons toonde in 1741… Zie bv. ,

“ Pi – ook eens anders benaderd ", Jaap Top, Hfd. IX uit – Speeltuin van de Wiskunde, Bart de Smet en Jaap Top, 2003 Veen Magazines .

In de categorie van de komplexe getallen is het duaal van (a+bi), t.o.v. het komplex toegevoegde,

(a+bi)(a-bi) = a² +b²

en blijkbaar altijd een reëel getal …

Die voorgaande abstracte bewustvormingen lagen aan de basis van … Heisenberg’s revolutionary idea :

“ In quantum theory physical observables must be presented by hermitian matrices which are in general, of infinite order”.

R.H. Fowler (1889 – 1944) and P. Dirac (1899 – 1984) became conscious of a transition from classical mechanics to quantum mechanics consisting in replacing “ the classical real commutative algebra of real physical quantities “ by a “ noncommutative complex algebra with involution * whose selfadjoint elements x = x* are indentified with the physical quantities of quantum observables in the quantum theory “.

M.a.w. Heisenberg, Fowler en Dirac beseften dat oneindige matrices gepaste categorische morfismen zijn om te verbinden aan kwantum verschijnselen.

Dat men kwantum modellen maakt waarbij de oneindige matrices vervangen worden door eindige matrices zal wel mede aan de basis liggen van vele verrassingen, (6).

Ook het belangrijke, fundamentele begrip van inversiebiliteit, dat aan de basis ligt van de oplossing van vele problemen , kan ingebed worden in “ veralgemeende inversiebiliteit ” in categorieën . Hierin speelt de zgn. von Neumann regulariteit een essentiële rol met daarbij involuties, zoals blijkt bij de von Neumann - Penrose inversiebiliteit en Drazin inversiebiliteit, zie verder.

Zie ook “ J. von Neumann : Mathematical foundation of Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1955 ”.

Met al deze beschouwingen kan ik nu de volgende bedenkingen maken :

Stel dat we ook ons eindig tijdsbegrip aangevuld hebben met een oneindigheids aspect en een imaginair aspect nl. Boeddha-Cantor-Gauss tijd m.a.w. dat we ons in een verruimd “ Cantor-tijd-paradijs “ brengen door een tijd-categorie te bedenken met een tijd-involutie * .

Dan zou het oneindigheids aspect U complementair-duaal verbonden kunnen worden, via zo´n involutie * met tijdloosheid , stel

( U of oneindigheid ) * = NU of zero – tijd .

Zo´n involutie * kan dan ook geïnterpreteerd worden als een “ spanningsveld “ tussen Leegte en Tijdloosheid of noem het Leegte en Eeuwigheid.

Lijkt dat wat abstract dan komt dit concreter neer op :

“De abstracte oneindige hoeveelheid U manifesteert zich aan onze zintuigen als een universum van onnoemlijk veel eindige hoeveelheden en is involutorisch en complementair-duaal verbonden met de abstracte zero-tijd NU die zich manifesteert aan onze concentratie als onnoemlijk veel eindige tijdcycli “.

Een bekend esotherisch wijsgerige uitspraak van Ludwig Wittgenstein sluit daar zeer dicht bij aan :

“ Als je onder eeuwigheid niet oneindige tijdsduur maar ontijdelijkheid verstaat , dan leeft hij eeuwig die in het heden leeft . Ons leven is even eindeloos als ons gezichtsveld grenzeloos is “ .

Een minder bekende uitspraak van Han Marie Stiekema in “De Schoot van het Universum” sluit daar ook bij aan :

“Zowel het Licht als de Zichtbare Wereld sterft ononderbroken en wordt, in hetzelfde Eeuwige Moment opnieuw geboren” .

Zie ook het “ Gnostisch Scheppingsmythe “,

Plotinus ( Neoplatonisme), Proclus en Kabbala.com .

Zie ook (7) omtrent bewustvormingen van J.Piaget .

1. We zijn vertrouwd met het feit dat optellen en

vermenigvuldigen van getallen commutatief is d.w.z. a+b=b+a en a.b=b.a voor getallen a en b. Maar de bewerkingen aftrekken en delen daarentegen zijn niet commutatief d.w.z. a-b is niet altijd gelijk aan b-a en a/b is niet altijd gelijk aan b/a .

Het begrip “niet-commutatieve samenstelling” kan ook geïllustreerd worden met onze welbekende samenstelling van woorden met letters want de al of niet betekenis is afhankelijk van de volgorde van de letters die we ervoor gebruiken bv. raam, maar, rama, aamr …

De woordklank ABBA van Jezus van Nazareth voor zijn “Goddelijke Vader”, als vervorming van het Turkse woord BABA voor “vader” zou in dit verband kunnen wijzen op zijn bewustzijn omtrent niet-commutativiteit en involuties.

Ook onze hedendaagse constructie van getallen met cijfers illustreert goed een “niet-commutatieve samenstelling” :

Met de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 als basis maken we andere getallen. Bijvoorbeeld de samenstelling 19091, is niet hetzelfde getal als 11099 alhoewel we dezelfde cijfers gebruikten, maar geplaatst in een andere volgorde. Dit is ook een voorbeeld van een vertrouwde samenstelling die niet commutatief is nl. samenstellingen worden commutatief genoemd als de volgorde bij het samenstellen

geen rol speelt bij het resultaat ervan.

Maar, bij de Grieken (en de Romeinen) was het getalstelsel commutatief en werd additief decimaal genoemd omdat het Griekse alfabet gebruikt werd om getallen uit te drukken. Zo betekenden 𝛿ι maar ook ι𝛿 het getal 14.

De Belgische schrijver en ingenieur Robert Bauval , zie Youtube : Egypt decoded, vond dat Zep Tepi begon rond 10.000 v.Chr. toen de Sfinx gecreëerd werd en bewustzijn verankerd werd in vaste stof, als de Melkweg pal boven de Nijl stond en toen de laatste ijstijd eindigde, op 9.702 v.Chr volgens het Niels Bohr Instituut.

Daarover bestaat veel discussie maar hij zou wel eens gelijk kunnen hebben want : stel, zoals in de esotherische traditie, dat het begon in 10.091 v.Chr. dan zal, vermits in het jaar 9000 n.Chr. de Melkweg opnieuw pal boven de Nijl zal staan, de ganse periode dus 10091 + 9000 = 19091 jaren duren . Dit is een getal dat bij bewustzijn van oneindigheid, niet-commutativiteit en bestaan van involuties zeer goed past bij zo´n belangrijke kosmische cyclus van toestanden van onze aarde in het Melkwegstelsel ….

Een andere merkwaardigheid omtrent het getal 19 :

We kunnen op een eenvoudige manier tot een zeer groot priemgetal komen door alle priemgetallen tot 19 naast elkaar te plaatsen nl.

1235711131719

en de “uitersten” weg te laten.

Dan krijgen we

23.571.113.171

wat inderdaad een zeer groot priemgetal is, wat eenvoudig te controleren is op nl.numberempire.com.

Maar er is meer…. Beschouw nu 7 als “scharnierpunt” , met betrekking tot 4 getallen links en 4 getallen rechts ervan in

1 2 3 5 7 11 13 17 19

Laten we 7 weg dan bekomen we twee getallen

1235 en 11131719

en, laten we nu ook hier de twee “uitersten” weg dan krijgen we

23 en 113.171

die opnieuw twee priemgetallen zijn.

Bovendien is 2¹⁹-1 één van de vijftig,nu bekende, Mersenne priemgetallen.

In een van zijn voordrachten, op Youtube, meldde Neil Turok dat op de “Ishango Bone” de priemgetallen kleiner dan 20 gegrift staan….

Het is toch wel verbazingwekkend dat mijn niet aflatend zoeken, gedurende een halve eeuw, naar een mogelijke belangrijkheid van het getal 19 en het zoeken naar een heel eenvoudige constructie om tot een zeer groot priemgetal te komen, uiteindelijk beloond werd…. Het lijken mij mooie voorbeelden te zijn van Pythagoras´ metamathematica van getallen ….

2. Het begrip matrix is in ons westers denken een redelijk recent begrip dat niet meer te vermijden was na de bewustvorming van het belang van eindig dimensionale vectorruimten. Maar het was al lang een vertrouwd begrip in China omdat het behoort bij hun Taoïstische ingesteldheid…

Kort gezegd zou men kunnen stellen dat het gaat over een structuur van rijen , kolommen en blokken van getallen en hun afgeleiden. Het is een heel interessant voorbeeld bij de studie van categorieën.

Ook het grote succes van de computer technologie stoelt op rijen van twee symbolen, stel 0 en 1. Je zou kunnen stellen dat de wortels van dat succes liggen in een harmonische driehoeks verhouding van het Abrahamistisch-Hindoeïstisch-Taoïstisch bewustzijn, wat Pythagoras waarschijnlijk tenzeerste zou appreciëren.

Zie ook , Caregories types and Structures, An introduction to Category Theory for the working computer scientist, Andrea Asperti & Giuseppe Longo, ftp.ens.fr/pub/dmi/users/longo/CategTypesStructures

3. S.Kierkegaard (1813-1855) vermeldde : “Niet loslaten betekent voor altijd het houvast verliezen” …

E.Kant (1724-1804) noemde bepaalde denkvormen waarmee we de werkelijkheid of wereld ordenen, categorieën. Vandaar zijn uitspraak : “ Het zijn de categorieën van het denken die de werkelijkheid, zoals ze ons voorkomt, bepalen ”.

R.Rorty mentioned in his book “ Philosophy and the Mirror of Nature “ that John Dewey had a vision of an ideal society where culture is no longer dominated by the ideal of objective cognition but by that of aesthetic enhancement. In that culture, as he said, the arts and the sciences would be “ the unforced flowers of life “, ….

waaraan ik graag zou toevoegen :

with categorical mathematics as a first unifying abstraction of it.

De wiskundige Categorie theorie over “objecten en morfismen” had veel belangstelling in de periode 1950-1970 met H.Cartan, S.Eilenberg en S.MacLane als pioniers . Dat het in de categorie theorie vooral over de morfismen gaat en niet zozeer over de objecten doet mij denken aan het feit dat Magritte ons wilde confronteren met de

“ raadselachtigheid van de objectenwereld “bekend als

“La Trahison des Images” met o.m. “ noch het woord noch het beeld is het object zelf ”.

4. De grote verdienste van Newton was om twee bewustvormingen van Galileo Galilei aan te vullen met zijn bewustzijn dat “ krachten in paren “ voorkomen. Je zou kunnen zeggen dat hij een categorisch model heeft gekozen waarin “ morfismen duaal gekoppeld zijn via een involutie “, ongetwijfeld een Taoïstisch principe.

Dat zou mogelijk een verklaring zijn voor het uitzonderlijk grote succes van ons eerste wetenschappelijk model van het toenmalig begrip van de kosmos, geïntroduceerd door Pythagoras.

Mijns inziens heeft L. de Broglie ook een categorisch model gekozen bij zijn studie over het Licht waarin een koppeling voorkomt nl. “ golf maar ook deeltjes “ ….

In zijn Nobel Price lecture verklaarde hij dat werkbare futuristische modellen in de fysica daarop vermoedelijk zullen steunen.

Zie ook cnet.com : Physicists prove Einstein´s “Spooky” quantum entanglement. Nov 19, 2015.

In de context van mijn verhaal lijkt het artikel van Buchsbaum, D.A.: Exact Categories and duality, Trans. Am. Math. Soc. 80, 1-34 (1955) en on-line te lezen, vermeldenswaardig.

Evenals, “ The Book of Involutions, M.A.Knus, A. Merkurjev, M.Rost and J.P.Tignol, Am.Math. Soc. , Colloqium Publications vol. 44, 1998 met een voorwoord door J.Tits met onder meer :“….le titre est plus l´expression d´un état d´âme que l´ affirmation d´un thème central”.

Zie ook, Gérard Desargues : Brouillon project d´une atteinte aux événements des rencontres d´une cone avec un plan (1639) , met zijn begrippen omtrent oneindig verre punten, involuties, harmonische verhoudingen en polariteiten.

5. De categorische involutie * gedefinieerd op de complexe getallen a+bi, nl. (a+bi)* = a-bi is interessanter dan de categorische involutie “ het inverse nemen “,

nl. ( a+bi )^-1= ( a-bi )/ (a² +b²),

omdat het " zich beter gedraagt “ t.o.v. het nemen van sommen z₁ + z₂ en het nemen van producten z₁.z₂ van complexe getallen, vermits ( z₁ + z₂ )* = z₁* + z₂* en

( z₁z₂ )* = z₁* z₂*, maar waar ( z₁ + z₂ )^-1 n.n.z. gelijk is aan

z₁^-1 + z₂^-1, wel ( z₁z₂ )^-1= z₁^-1z₂^-1 .

Dit onderscheid is wel heel belangrijk vermits men met behulp van die eigenschap van * kan bewijzen, ook steunend op de Hoofdstelling van de Algebra, dat elke veelterm over de reële getallen het product is van lineaire- en kwadratische veeltermen over de reële getallen …

De intense inspanningen in het verleden, om uitdrukkingen van de wortels van derde-, vierde- en vijfde graadsvergelijkingen over de reële getallen te zoeken, waren blijkbaar niet echt nodig …

6. De algebraïsche en wiskundige modellen verbonden aan oneindige matrices zijn nog zo veel ingewikkelder dan de modellen verbonden aan eindige matrices. Dit komt omdat het product van oneindige matrices niet meer associatief is d.w.z. (AB)C is niet noodzakelijk gelijk aan A(BC). Dit, bovenop de problemen met niet-commutativiteit, confronteert ons met nieuwe eigenaardigheden. Er zijn dan bv. inversiebele oneindige matrices die zelf oneindig veel inversen bezitten …. Boeiend, maar zo anders !

Zie bv. “A review of infinite matrices and their applications, P.N.Shivakumar & K.C. Sivakumar, Linear Algebra and its Applications, 430 (2009), 976-998” .

Daarom is het niet verwonderlijk dat fysici die de werkelijkheid benaderen door kwantum modellen te kiezen op basis van eindige matrices, geconfronteerd worden met zogenaamde “singulariteiten” en andere grote moeilijkheden, zie o.a. Youtube: The Limits of Understanding”, World Science Festival.

De vraag is of die singulariteiten en grote moeilijkheden zullen verdwijnen door gepaste modeluitbreidingen te vinden….

7. In Morphisms and Categories (Henriques & Asher, 1990/1992), J.Piaget (1896-1980) admitted that transformations are not all there is to mental life. Alongside transformations, there are comparisons and correspondences, categories and morphisms that play a central role in psychological construction. And it was his own creation of an isomorphism between genomic and intellectuel processes that inspired everything that came thereafter. It was his realization that variation and selection had become psychologially possible that formed the essence of his theory and set his scientific program for life.

Gauss - von Neumann – Penrose

"Dingen zijn slechts onvolkomen copieën van Vormen"

Plato

We hebben heel wat zogenaamde zekerheden in het verleden verzameld, steunende op bewustvorming.

Maar op het toppunt van die gekoesterde zekerheden verscheen onzekerheid.

Is het onze geërfde en ontspoorde Griekse zucht naar zekerheid, perfectie, waarheid of macht samen met de twijfel over redeneringsvormen die ons uiteindelijk in die onzekerheid en dichter bij oneindigheid brengt ? Dat is toch wat Cantor, Gödel en kwantumfysici in ons hebben bewust gemaakt, of niet ?

Dus, we lijken gedwongen om onze soms goed werkende

“ zekerheidsfilosofie ” in te bedden in een andere, omvattende filosofie om de nieuwe bewustvormingen in te kaderen. Er zijn, volgens mij althans, veel geschiedkundige en algebraïsche abstracte redenen om een

“ benaderingsfilosofie ” de rol te laten spelen van zo’n omvattende filosofie.

Bewustvormingen in China, Indië en in de 17^e eeuw in Europa met de benadering van een functie door een machtreeks wijzen daarop. Maar ook bedenkingen van Plato, Einstein en verzuchtingen van de “ Homo Deus ” wijzen in die richting. (1)

We kunnen ook luisteren naar de Nobelprijs winnaar 2004 F. Wilczek in Quantamagazine, “ How Feynman Diagrams almost saved Space “ :

“ The first published Feynman diagram appeared in Physical Review in 1949. It was a beautiful new way to think about fundamental processes. But Feynman proved that his diagram method is not a true alternative to the field approach, but rather an approximation to it . To the Nobelprice winner Feynman, that came as a bitter disappointment. Now, it can be considered as providing good approximations to reality “….

Vermoedelijk is de reden voor zijn “bitter disappointment“ dat hij niet genoeg bewust was dat vooral onzekerheid en dus ook oneindigheid behoort bij de subatomaire deeltjes fysica en niet alleen zekerheid en eindigheid, die de klassieke fysicus zo graag koestert …

Had Plato niet geponeerd dat “Dingen” slechts onvolkomen copieën van “Vormen” zijn ...?

Maar Feynman´s eerste diagram kan beschouwd worden als een uitdrukking van Pythagoras´ overtuiging dat de driehoek heel fundamenteel is in de menselijke culturen en daaruit volgend, ook iets fundamenteels zou moeten betekenen in de kwantumfysica. Inderdaad, je hoeft enkel maar fundamentele dualiteit- en symmetrie principes toe te passen op de driehoek om Feynman´s diagram te verkrijgen … nl. een driehoek is een verbinding van drie punten, het duale is dus … drie lijnen door een punt en dat nogmaals spiegelen en je krijgt het eerste Feynman diagram…. en ook de struktuur van de honingroosters als je er wat meer over nadenkt, wat Brian Cox nog niet heeft gedaan zoals blijkt uit zijn “ Forces of Nature “, BBC 1.

Ik ben nu wel sterk benieuwd naar de besluiten van een lopend onderzoeksproject, waarover een opmerking van Markus Muelle : “ objective reality is only an approximation “ … Project : Physics of the Observer (2015-2018) – Max Tegmark, Antony Aquirre – John Templeton Foundation.

Zie ook de Nobelprijswinnaar H.Bergson in “ De creatieve evolutie “ blz. 156 onderaan : “ Als we het op die manier bekijken, doet de kennis van materie die wij zowel via onze waarneming als via de wetenschap verkrijgen, zich wel aan ons voor als een benadering, maar niet als betrekkelijk.”

Maar, hoe kunnen we nu onze, in het verleden zo gekoesterde “ zekerheidsfilosofie “ op een zinvolle

manier inbedden in wat ik graag noem, …

een “ benaderingsfilosofie “ ?

Laten we daarom eerst naar een zeer belangrijke gebeurtenis in het verleden kijken:

G. Piazzi ontdekte de kleine planeet Ceres op 1 januari 1801, maar Ceres kon slechts 24 keer geobserveerd worden vooraleer de planeet verdween achter de zon. Tegen het einde van het jaar zou Ceres opnieuw observeerbaar zijn, maar helaas niet exact te lokaliseren omdat er te weinig gegevens over de baan van Ceres beschikbaar waren. De toen 24-jarige C.F. Gauss,

zelf opzoek naar wat beroemdheid, bedacht een nieuwe efficiënte algebraïsche methode om “ bij benadering ” Ceres te lokaliseren.

Inderdaad, op 31 december 1801 vond men Ceres gemakkelijk terug en C.F. Gauss werd in 1807 beloond met een benoeming tot hoogleraar sterrenkunde en directeur van het nieuw astronomisch observatorium in Göttingen. Zijn methode, nu bekend als de “ methode der kleinste kwadraatoplossingen ” toont duidelijk aan dat men, zonder gebruik te maken van exactheid, toch heel praktische resultaten kan bekomen.

Het is merkwaardig dat ook nu, Ceres opnieuw in de belangstelling staat omdat er organisch materiaal gevonden werd door de ruimtesonde “ Dawn ” die vertrok in september 2007, aankwam in maart 2015 en daar zal blijven rondcirkelen … Laten we hopen dat de ervaringen die hierbij zullen behoren, even grote bewustvormingen zullen teweeg brengen als 200 jaar geleden …

Welke abstractie zou nu aan de basis kunnen liggen van het concrete benaderingsmodel van Gauss en die zou kunnen dienen als basis voor een “ benaderingsfilosofie ” , die onze

“ zekerheidsfilosofie ” zou omvatten ?

M.a.w. we komen tot de volgende belangrijke vraag :

“ What is a unifying stucture behind best approximations of REALITIES ” ?

In 1955 – 1956 publiceerde de nu alom bekende sir Roger Penrose de artikels, “A generalized inverse for matrices” en “On best aproximate solutions of linear matrix equations” in the Proc. Cambridge Philosofical Society.

Hierin bleek dat het benaderingsmodel van Gauss equivalent is met het stelsel, bestaande uit vier niet-commutative vergelijkingen met onbekende X,

- A X A = A

- X A X = X

- ( A X )⁺ = A X

- ( X A )⁺ = X A

waarin A een eindige matrix voorstelt over de rationale- of reële- of complexe getallen, behorende bij een stelsel lineaire vergelijkingen A x = b , dat bij het probleem van Gauss, geen oplossing x bezat, (2).

Het stelsel maakt duidelijk gebruik van het begrip niet-commutativiteit met een soort duale omzetting van de

von Neumann vergelijking A X A = A naar X A X = X , door A en X te verwisselen en ook van een involutiebegrip ⁺ , nl. de geadjungeerde nemen van een matrix.

Je zou het stelsel kunnen interpreteren als het zoeken naar “de” von Neumann reguliere oplossing die aan zekere dualiteitsprincipes en symmetrie eigenschappen voldoet want, het is heel merkwaardig dat zo’n oplossing noodzakelijk uniek is. Die unieke oplossing, voorgesteld door A ^† , brengt je dan bij de beste benadering A ^† b van het probleem A x = b , m.a.w. A ^† b stelt de kleinste kwadraat oplossing voor ( met minimale norm) van het stelsel A x = b m.a.w. A (A ^† b ) “benadert het dichtst b”…

Dus, bewustvormingen van Gauss – von Neumann – Penrose kunnen dienen om tot een abstract model te komen voor een praktisch benaderingsmodel.

Rond 1970 stuurde R. Penrose mij zijn resultaten omtrent

-A generalized inverse for matrices, Proc. Cambridge Philosof. Society 51 (1955 ) 406 – 413

-On best approximate solutions of linear matrix equations, Proc. Cambridge Philosof. Society 52

( 1956 ) 17-19

waarin ik toen kon lezen dat hij van plan was om zijn resultaten, bewezen voor matrices over het veld van complexe getallen, verder uit te breidden naar matrices over algemenere ringen, wat echter niet gebeurde …

Zo´n uitdaging boeide niet alleen mij maar vele anderen, gedurende vele jaren, met vele resultaten voor matrices over algemene ringstructuren.

Bij nader inzicht kwam dan de bewustvorming dat het probleem zelfs zinvol kan doordringen tot nog een veel hoger abstract niveau nl. tot alle categorieën met involuties * .

Inderdaad, stelt Φ een willekeurig morfisme voor in een categorie met involutie * , dan kunnen we zoeken naar een morfisme X in het stelsel, bepaald door de vergelijkingen

- Φ X Φ = Φ

- X Φ X = X

- ( Φ X )* = Φ X

- ( X Φ )* = X Φ

Alle oplossingen van de eerste vergelijking Φ X Φ = Φ worden voorgesteld door Φ^{^} en worden von Neumann reguliere oplossingen genoemd. Er kunnen oneindig veel van die von Neumann reguliere oplossingen zijn…

Om dat in te zien neem je als eenvoudig voorbeeld voor Φ een matrix met als eerste rij (1 0) en als tweede rij (0 0). Dan zijn alle mogelijke Φ^ de matrices met als eerste rij

(1 a) en als tweede rij (b c) met a,b,c willekeurig …..

Het merkwaardige aan het laatste stelsel is dat, als het een oplossing bezit, die oplossing noodzakelijk uniek is, voorgesteld en gegeven wordt door formule (F)

Φ^† = Φ* ( Φ Φ* )^{^} Φ ( Φ* Φ )^{^} Φ*

Dit is te lezen in Lemma 3 van de publicatie :

R. Puystjens and D.W. Robinson, The Moore - Penrose Inverse of a Morphism with Factorisation, Linear Algebra and its Applications 40 : 129 – 141 (1981)

Blijkbaar brengt de kennis van OM HET EVEN WELKE

von Neumann reguliere oplossing van de bijzondere symmetrische morfismen ΦΦ* en Φ*Φ ons bij de UNIEKE OPLOSSING van een niet-strijdig von Neumann-Penrose stelsel . Hoe merkwaardig !

Voor een niet triviaal voorbeeld, zie ( 3 ).

Deze formule (F) is een mooie categorische uitbreiding van hetgeen we al wisten in het speciaal geval van een inversiebel morfisme want dan is

Φ^-1 = Φ* ( Φ Φ* )^-1

= ( Φ* Φ )^-1 Φ*

en kan ook genoteerd worden in de vorm,

= Φ* ( Φ Φ* )^-1 Φ ( Φ* Φ )^-1 Φ*

M.a.w. de inverse van de symmetrische morfismen Φ Φ^* en Φ^* Φ kan ons direct bij de inverse Φ^-1 brengen.

Bij het veld van de complexe getallen met involutie * het complex toegevoegde nemen, is dat dus:

z^-1 = z* ( z z* )^-1

= ( z* z )^-1 z*

= z* ( z z* )^-1 z ( z* z )^-1 z*

Het merkwaardige hier is dat de symmetrische complexe getallen z z* en z* z reëel zijn! M.a.w. de inverse van een complex getal z is op een reële factor na, altijd het complex toegevoegde z* ….

D.w.z. de inversiebiliteit bij de complexe getallen is gekend via de involutie * : z naar complex toegevoegde z* en de inversiebiliteit in het lagere niveau van de reële getallen.

Dus, het welbekende categorisch schema behorende bij inversiebiliteit in een multiplicatieve structuur met involutie * …

zie Fig. 1

kan, bij waarnemingen en andere toestanden die struktuur en herkenning inhouden m.b.t. oneindigheid, niet-commutativiteit en involuties, bv. in de kosmologie en kwantumfysica, opgaan in ….

zie Fig. 2

en dit, voor alle categorieën met involuties * …

In dat zelfde Lemma 3 wordt ook aangetoond dat het categorische von Neumann – Penrose stelsel een unieke oplossing bezit dan en slechts dan als er morfismen U en V bestaan z.d.

U Φ* Φ = Φ = Φ Φ* V

zie Fig. 3

m.a.w. als er een soort “niet-commutatief rationaal verband ” bestaat tussen Φ met Φ Φ* en Φ* Φ m.a.w. als ook Φ een soort “ involutief ( Φ Φ* , Φ* Φ )-veelvoud “ is in de categorie. Onder ”goede involuties“ zal die nodige en voldoende voorwaarde ook neerkomen op von Neumann regulariteit van Φ Φ* en Φ* Φ m.a.w. de von Neumann regulariteit van Φ Φ* en Φ* Φ brengt je dan bij de

unieke Φ^†.

Blijkbaar zijn in de kwantum mechanica de dualen Φ Φ* en

Φ* Φ hermitische matrices AA⁺ en A⁺A met enkel reële eigenwaarden, die weerspiegelingen zijn van fysische grootheden van waarneembare kwantum verschijnselen.

Dus, waarneembare kwantum verschijnselen die

von Neumann regulier zijn garanderen een uniek bestaand von Neumann- Penrose inverse t.o.v. gepaste involuties …

Vermoedelijk zullen er in de kosmologie vele andere merkwaardige bewustvormingen mogelijk zijn die kaderen in zo´n “unifying categorical Gauss–von Neumann-Penrose structure “.

Ter illustratie hiervan een bewustvorming die recent bij mij doordrong :

In de speciale relativiteitstheorie van Einstein worden “Energie” en “Massa” als twee verschijningsvormen van een zelfde “fenomeen” opgevat, verbonden in de beroemde

relatie E = M c². Maar, wat precies E en M betekenen was voor mij en sommigen wat onduidelijk…

Zie bijvoorbeeld : Youtube, “ The concept of “ Mass ” – with Jim Baggott, Ri, 2017.

Maar je kan ook veralgemeningen ervan beschouwen, zie bijvoorbeeld : Youtube, “ Why E = M c² is wrong “, Dr. Don Lincoln, Fermilab 2017 met daarin

E² = (pc)² + (Mc²)² , p = momentum = measure of the motion of a particle, with or without mass …

en met

E = M c²(1-v²/c²)^-1/2 = M c² ( E_moving/E_notmoving )

waarbij v < c, wat samenhangt met het feit dat er massa aanwezig is …

Stel nu eens dat * een involutie is die behoort bij een

Energie–veld E en dat je dan M opvat als een

(EE*, E*E)–toestand … die je ook zou kunnen opvatten, dank zij Paul Dirac, als een

( materie, anti-materie ) – toestand …

Als we dat verbinden met de hierboven beschreven relatie , krijgen we

E = E E* c²(1-v²/c²)^-1/2 en E = c²(1-v²/c²)^-1/2 E* E

m.a.w. dat betekent dat de von Neumann-Penrose inverse E^† van E bestaat van zodra

c²(1-v²/c²)^-1/2 bestaat in de categorie m.a.w. het veld of de ring waarover je alles hebt gedefinieerd. m.a.w. …

Fig. 4

Kosmologisch zou dit dan als volgt te omschrijven zijn:

in het universeel (energie)veld E met involuties * kunnen toestanden (EE*, E*E) gecreëerd worden die virtuele toestanden (materie , anti-materie) genoemd kunnen worden en die dan al of niet verder getransformeerd worden, bij groter verlies van snelheid, naar observeerbare materie – deeltjes naargelang het bestaan van E^† …

Misschien passen die bedenkingen hier wel bij de quote´s van Paul Dirac:

“ God used beautiful mathematics in creating the world “

en van Pythagoras:

“ Harmonische patronen, weerklinkend uit het Ene,

liggen aan de basis van alle Verschijnselen “

1. In Europa waren het vooral bedenkingen van B.Pascal, C.Huygens, J.Gregory, I.Newton, en G.W.Leibniz die toonaangevend waren in verband met benaderingen van functies d.m.v. machtreeksen.

In het boek, A History of Abstract Algebra, Birkhauser 2007, van de auteur Israel Kleiner kunnen we lezen dat :

“ The Chinese had methods for approximating roots of polynomial equations of any degree and solved systems of linear equations using matrices and determinants, well before such techniques were known in the West “.

In het boek, A friendly introduction to Number Theory, 2006 Pearson-Prentice Hall, van de auteur J.H.Silverman kunnen we lezen dat :

“ The Indian mathematician Bhaskaracharya (AD 1114-1185) extended some of Brahmagupta´s (AD 598-670) work in Brahmasphutasiddhanta (The Opening of the Universe) by a method that uses an initial approximate solution to find a true solution via repeated reduction, called chakravala, which has to do with the Fermat descent …”

Denk aan Plato´s definitie van

“ Dingen “ nl. “ onvolkomen copieën van Vormen “.

Vergelijk met Einstein´s gedachte :

“ Men moet begrijpen dat wij alleen maar kunnen streven naar het ontdekken van een benaderde werkelijkheid “, zie Hilaire Cuny, Albert Einstein, Edition Seghers, Parijs 1961 en vertaald door R.v.d. Velde bij Uitgeverij Het Spectrum ,

Prisma boeken, Utrecht / Antwerpen 1965.

Zie ook Youtube: “ The Mathematical Mysteries of the Universe “ ( Documentary) 2016.

Ook in de recente boeken “ Homo Deus “ en “ 21 lessen voor de 21^ste eeuw “ van Yuval Noah Harari, waarin hij zich buigt over de toekomst, kan het gestelde basisidee dat biomathematische algoritmen bij de mens zowaar een zalig makend toekomst perspectief te bieden hebben, gekaderd worden in zo´n benaderingsfilosofie.

Inderdaad, laten we eerst kijken wat met “ algoritme “ wordt bedoeld. Het woord “ algorisme “ verwees oorspronkelijk alleen naar “ de regels om te rekenen met letters “, bedacht door de Perzische wiskundige Al-Chwarizmi ( 780-845 ), die mede aan de basis ligt van de Algebra, d.m.v. zijn boek met als titel :

al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr w´ al-muquabala .

Het woord algorisme evolueerde dan naar algoritme en wordt nu gebruikt voor “ alle eindige procedures om problemen op te lossen of taken uit te voeren “.

Maar, zo´n eindige procedure werd ons reeds bewust gemaakt door Euclides nl. met wat we nu noemen “ het algoritme van Euclides om de grootste gemene deler van twee getallen te berekenen “.

Het eerste voor een computer geschreven algoritme is te vinden in de notities van Ada Byron, in 1842.

Maar wat een “ goed gedefinieerde eindige procedure “ van een algoritme moet zijn werd behandeld door de wiskundige Alan Turing ( 1912-1954 ). Vandaar het begrip Turingmachine, d.w.z. een abstract model voor een computer met daarbij de Church-Turing hypothese in de berekenbaarheidstheorie en …. alles wordt ingewikkelder .

Maar er blijkt nog altijd geen algoritme gevonden te zijn om met een Turingmachine een natuurlijk getal in zijn priemfactoren te ontbinden. Dit is zeker niet onbelangrijk vermits het hier gaat over de “Fundamentele stelling van de Rekenkunde”. Er is nog niet bewezen dat zo´n algoritme niet bestaat en ook niet, dat het wel bestaat …

Maar met kwantumcomputers zou wel efficiënt gefactoriseerd kunnen worden, wat dat ook mag betekenen …

Men zou zich nu wat bescheidener tevreden kunnen stellen met de gedachte dat biologische processen bij de mens, niet beschreven maar wel benaderd kunnen worden d.m.v.

“ goed gedefinieerde biomathematische algoritmen “.

Er lijkt mij nog een lange weg te gaan in ernstig onderzoek daaromtrent …

2. Het von Neumann - Penrose stelsel kan beschouwd worden als een categorische uitbreiding van een eenvoudig stelsel van E.H.Moore, voor matrices A over de reële getallen, nl.

- A X = P_ImA ,

m.a.w de orthogonale projectie op het beeld van A

- X A = P_ImX ,

m.a.w. de orthogonale projectie op het beeld van X

dat altijd een unieke matrix oplossing over de reële getallen heeft.

Zie E.H.Moore, On the reciprocal of the general algebraic matrix, Bull. Amer. Math. Soc. 26 (1920) 394-395 .

3. We illustreren dat nu even aan de hand van een eenvoudige, niet-commutatieve “ Quaternionalgebra ” bestaande uit de elementen x + yi + zj + uk , waarbij

i² = 1 , j² = -1 , ij = k = -ji

en x, y, z, u willekeurige reële getallen zijn.

Als involutie * beschouwen we

( x + yi + zj + uk )* = x + yi - zj + uk

Kiezen we nu als quaternion q = j + k , dan is q een nuldeler want ( 1 – i )( j + k ) = 0 en zelfs een nilpotent quaternion want ( j + k )² = 0.

Blijkbaar is q* = - j + k ook nilpotent, en zullen

qq* = 2( 1 + i ) en q*q = 2( 1 – i )

niet nilpotent zijn en zal, na wat eenvoudig gereken :

1/2³( 1 + i ) tot de verzameling (qq*)^behoren

1/2³( 1 – i ) tot de verzameling (q*q)^behoren

Dan wordt formule (F)

q^† = q*(qq*)^q(q*q)^q*

= (- j + k ) 1/2³( 1 + i )( j + k ) 1/2³( 1 – i ) ( - j + k )

en zal

q^† = 1/2² ( - j + k )

en blijkbaar

q^† = 1/2² q*

en dus ook nilpotent zijn.

Na controle blijken

qq^† = 1/2 (1+i) , q^†q = 1/2( 1 – i )

wel degelijk symmetrische idempotenten te zijn …

Tenslotte is hier ook nog

qq^† + q^†q = 1 ,

een merkwaardige curiositeit…

"Het wordende onstaat door strijdende krachten, die in elkaar overgaan in een eeuwig voortdurend proces"

Heraclitus

Het is riskant om te zoeken naar een begin of een einde, het kleinste of het grootste als er geen bewijs is dat het wel bestaat. Een begin van iets bestaat immers niet noodzakelijk. Beschouw daarom de positieve rationale getallen a/b met betrekking tot de klassieke ordening “groter of kleiner dan”. Dan is er blijkbaar geen begin vermits, als a/b het begin zou zijn dan is a/2b toch kleiner en is dus a/b niet het begin. Dus, Pythagoras zal vermoedelijk niet gesproken hebben over “een begin van zijn Kosmos “ omdat de rationale getallen, zonder een begin, erin een fundamentele rol toebedeeld kregen …

Dus, zoeken naar “ het begin van het universum” is riskant als we geen bewijs hebben dat een begin ervan zou moeten bestaan.

Lang geleden verkondigde Heraclitus (540-480 v.Chr) reeds: “ De kosmos is ongeschapen en eeuwig ”.

Dit standpunt zou reeds beschreven zijn in de oeroude Indische Sanskriet teksten die opgenomen werden door de Perzen en gebracht tot bij Milete en Efeze, de geboorteplaats van Thales, Heraclitus en anderen.

Daarom zijn de vele pogingen in het verleden, via religie en wetenschap, om een “ begin te vinden van het universum ” zonder enig gemeenschappelijk aanvaardbaar resultaat gebleven.

Is het dan niet verwonderlijk dat het zou kunnen dat er

“geen begin is aan het universum” ?

Dus, waar is er een bewijs dat er een “ begin zou moeten zijn aan het universum ” ?

Daarom kan niemand een gelovige fysicus, zoals Lemaitre (1894-1966), beletten “ om te geloven ” dat er een

“ begin is aan het universum ” , die smalend een Big-Bang explosie genoemd werd door critici… Zou het niet kunnen dat zijn geloof daaromtrent sterk gedragen werd door hetgeen hij wist wat Bruno overkwam …?

Bovendien is het mij niet duidelijk wat de zoeker echt bedoelt met “ het universum ”. Wellicht is hij enkel bezig

“ zijn of iemands ervarings - universum te modelleren ” en daarin een bewijs te zoeken voor een “ begin aan dat ervarings - universum ”. En, als de zoeker enkel bewust is van eindige modellen is het toch niet verwonderlijk dat hij hiermee een begin zal vinden van dat universum ….

Ook Roger Penrose was oorspronkelijk de Big-Bang theorie genegen, wat mij verwonderde omdat hij toch vrij was t.o.v. religieuze overwegingen ….

Zie Youtube: Roger Penrose, BBC Hardtalk 2007: Is this scientific evidence for God? 10.30 Bsmith.

Wat later heeft hij dat standpunt herzien en vervangen door “ conformal cyclic cosmology ” met

“ pre-Big-Bang activity ” , steunend op een samenwerking met Vahe Gurzadyan omtrent “ correlated circles in the cosmic microwave background (CMB) anisotropies ”.

Dit lijkt mij enkel een moderne versie te zijn van een uitspraak van Heraclitus :

“ Het heelal zou begrensd zijn, wordt geboren uit vuur en keert weer terug tot vuur volgens cycli van bepaalde lengte tot in alle eeuwigheid ”. Zie Linda Johnson, “ Lost Masters “, New World Library, Novato, California 94949, USA, www.newworldlibrary.com ; 2006, 2016.

Zie ook “ The Eon of the Eons “, Concordant.org

Zie ook het scepticisme, met in den beginne Peter Coles, waaronder: “ Gurzadyan & Penrose have not found evidence for pre-Big-Bang phenomena, but have simply

re-discovered that the CMB contains structure ”, by Adam Moss, Douglas Scott, James P. Zibin.

De bewustvorming van R.Penrose om een cyclisch oneindigheidsaspect te omkaderen met een linear tijdsgebeuren nl. “ het ene eon na het andere eon ” met daarbij een zeer eenvoudige meetkundige voorstelling, zou kunnen gezien worden als een gevolg van “zijn behoefte om alles te tekenen ”.

Zo´n behoefte impliceert echter beperkingen aan mogelijke universum structuren die anderen zich voorstellen. Maar beperk je jezelf tot een “ zichtbaar universum ” m.a.w. nog geen 5% van een ons nu bewust universum, dan ben je wel een heel eind wegs.

Je zou kunnen zeggen dat er dan gezocht wordt naar het begin van een “ telescopisch universum “ , dat wat anders is dan Pythagoras´ kosmos …

En, probeer eens een begin te zoeken van een universum, gedefinieerd door R. Buckminster Fuller (1895-1983):

“ The aggregate of all humanity’s consciously apprehended and communicated , to self and others , Experiences ” , (1).

Is het u ook opgevallen hoe vlug sommige kosmologen en wetenschapsjournalisten, in het verleden, in een waarheidsroes terecht kwamen bij sommige bedenkingen?

Wellicht was de ontnuchtering groot bij hen, toen ontdekt werd dat het heelal bestaat uit onzichtbare “dark energy ” voor 68% en “dark matter ” voor 27%, beide een zogenaamd “complete mystery”. Daar bovenop is van de overblijvende, mogelijk zichtbare 5% ook maar een fractie waargenomen en bestudeerd met veel onenigheid en onzekerheid over hetgeen dat men meende te zien en te weten. Zo komen we dicht bij een bewustvorming van Antoine de Saint-Exupéry, in “ De kleine Prins : Enkel met het hart kan men goed zien. Het essentiële is onzichtbaar voor de ogen ”.

Ook in de voordracht , “ The Discovery of Cosmic Acceleration” door Brian Schmidt, Nobelprijs winnaar 2011 moeten we ons tevreden stellen met de volgende onzekerheid:

“ Unless dark energy suddenly disappears, the universe will at an ever increasing rate expand and fade away…”.

De fundamentele onenigheid en onzekerheid in de huidige wereld van de fysici heeft wortels via Newton tot bij Aristoteles nl. bewustvorming verkrijgen door waarneming van natuurverschijnselen, vooral door het bekijken ervan en te interpreteren m.b.v. eindige geometrische principes aangebracht door Euclides.

Plato had daarvoor nochtans gewaarschuwd …

Maar, heb je wel eens goed nagedacht over Euclides’ definitie van “punt en lijn” ?

Euclides’ model werkt verbazend goed binnen de zichtbare grenzen van de tekentafel, hoe vaag de betekenis van zijn

“ punt en lijn ” ook is… Maar, werkt dat model even goed op de (oneindige) tekentafels van goden die minder interesse hebben voor begrenzingen? M.a.w. is dat model van Euclides wel nog geschikt indien we oneindigheid in ons bewustzijn opgenomen hebben en dus “ een geheel niet noodzakelijk meer groter is dan een echt deel ervan “

en dus in conflict komen met het laatste van de “ Algemene Inzichten “ van Euclides ….?

Inderdaad, kiezen we als geheel de oneindige verzameling der natuurlijke getallen en als echt deel ervan de even natuurlijke getallen dan is dat geheel NIET groter dan dat deel, maar wel even groot wegens de één – op - één afbeelding “ f “ gedefinieerd door f(n) = 2n.

Ook Marcus Du Sautoy merkt op in zijn recent boek “ Wat we niet kunnen weten ” : we kunnen ons de vraag stellen in de Euclidische meetkunde of de “uiteinden van een onbegrensde lijn” elkaar uiteindelijk zullen ontmoeten ... Dat probleem geeft interessante beschouwingen op de Möbiusband indien je “ja” als antwoord op die vraag van Marcus Du Sautoy kiest…

Indien we oneindigheid in ons bewustzijn opgenomen hebben zouden we wellicht beter af zijn met een meetkundig model steunende op cirkels: een punt zou dan een cirkel zijn met voldoende kleine straal en een lijn een cirkel met voldoende grote straal… en bij een” begrensde lijn (=boog) “ zullen dus de uiteinden ervan elkaar altijd ontmoeten “als je ze in gedachten verder laat uitlopen ”om

alzo een cirkel te worden.

Descartes’ visie om algebra meer te betrekken bij onze waarnemingen & bewustvormingen en Cantor’s visie omtrent oneindigheid werden door Heisenberg, leerling van Hilbert, geconcretiseerd in: “ The algebras of infinite matrices over the complex numbers are fundamental for a mathematical formulation of quantum mechanics ”.

Hier zie je dan ruimere algebraïsche principes te voorschijn komen nl. niet-commutativiteit, oneindigheid met niet-associativiteit, (2) en voluties die ons moeten helpen om subatomaire verschijnselen anders te interpreteren… door anders te structureren.

De Nobelprijswinnaar Niels Bohr besefte dat want hij verklaarde : “ When it comes to atoms, language can only be used as poetry ”.

De Nobelprijswinnaar W. Pauli (1900-1958), bekend om zijn uitzonderlijke uitspraken verklaarde omtrent de aard van het Licht: “Als ik met mijn ene oog kijk zie ik een golf, met het andere oog deeltjes en met beide ogen word ik gek…”

Natuurlijk, deels omdat oneindigheid en Taoïstische principes niet in zijn bewustzijn en mathematisch model zijn opgenomen. Doe je dat wel en gepast, samen met niet-commutativiteit en involutieve begrippen dan kan “gekheid in schoonheid ” getransformeerd worden…

Of, met de woorden van D. Bohm die daar ook dicht bij aanleunen:

“ If man thinks of the totality as constituted of independent fragments, then that is how his mind will tend to operate, but if he can include everything coherently and harmoniously in an overall whole that is undivided, unbroken and without border then his mind will tend to move in a similar way and from this will flow an orderly action within the whole”. See: Undivided Wholeness and the Implicate Order. See also Basil Hiley at Birkbeck College, London Philisopher Paavo Pylkaanen in fdavidpeat.com (b.hiley @bbk.ac.uk).

See also David Bohm and the Holographic Universe by Geoff Haselhurst, 2005 from SpaceAndMotion.com Website.

De belangrijke dichter Rainer Rilke gaf ons ook een tip op een wonderlijke manier:

“Alleen hij die waarlijk alleen is, wordt aan de verborgen wetten onderhevig en als een man in de vroege ochtend uitgaat of in de late avond blikt, die vervuld is van gebeurtenissen en als hij voelt wat daar gaande is, dan valt alle onderscheid van hem af als bij een dode, ook al staat hij midden in het leven zelf ”.

Je zou kunnen zeggen dat de dichter ons probeert duidelijk te maken dat:

“ Hij die het Eenmakend Principe doorheen de polaire Yin-Yang filosofie ervaart, raakt het oneindige U in het NU en wordt zijn hart en geest vrij ”…

Met dat Oosters Yin-Yang begrip kom je ook dicht bij het Griekse begrip “androgynie” dat een eenheid beschrijft van tegengestelde eigenschappen maar die samen onafscheidelijk en harmonisch met elkaar verbonden zijn.

Heraclitus verklaarde : “ Het wordende ontstaat door strijdende krachten, die in elkaar overgaan in een eeuwig voortdurend proces. De tweestrijd is daarom rechtvaardig en noodzakelijk want alles krijgt daardoor zijn plaats en moet zijn plaats behouden ”.

Voor Pythagoras was het duidelijk dat de spanning binnen de androgynie op wiskundige verhoudingen steunt.

Hij verklaarde : “ Harmonische patronen, weerklinkend uit het Ene, liggen aan de basis van alle verschijnselen “.

Zijn “ harmonie van de rationale getallen” beschrijven wij nu algebraïsch als “ het veld Q van de rationale getallen “.

Pythagoras´ harmonie kunnen we nu beschouwen als een eerste, algebraïsch universeel bewustzijn verbonden aan de evolutieve – en involutieve structuren verbonden in een komplementaire dualiteit.

Het blijkt dus uit al het voorgaande dat, bij verschijnselen met hun niet-commutative modellen, automatisch oneindigheid en categorische involuties een fundamentele rol spelen … Dit wordt zeker ook naar voor gebracht in de formule (F) uit het vorige hoofdstuk omtrent de heel speciale “ Gauss - von Neumann - Penrose inverse Φ^{† “} van een morfisme Φ in een categorie met involutie * .

Eens dat allemaal in je bewustzijn is opgenomen, dan zal je er toch niet aan denken om te zoeken naar een begin van jou universum … vermits onbegrensdheid erin bepalend is. Wat niet belet dat het een hele belevenis is om door krachtige telescopen te kijken en er wel of niet

“ een begin te zien “ … van iets .

Een andere beschouwing van Yogendra Gupta, Washington State University and Institute for Shock Physics, lijkt voor mij heel interessant en bijzonder mooi uitgedrukt :

“ The Universe never began at all. It appears from the ignorance of consciousness and disappears with the knowledge of consciousness which is singular and fundamental “.

Inderdaad, alles hangt er vanaf of je Oneindigheid in je bewustzijn hebt opgenomen en dus niet meer “ignorant “ bent m.b.t. “ Consciousness “ die behoort bij Oneindigheid

, Uniciteit en Monade … waarin de begrippen “regular” en “singular” ÉÉN zijn en dus “fundamental”.

Eens je dat goed bewust bent, zal je dan inzien hoe het mogelijk is dat zo´n Universum eeuwig kan gecreëerd worden omdat je zal inzien dat het niet nodig is om te weten wat Consciousness is maar wel dat we kunnen inzien welke verwonderlijke eigenschap het bezit …

De Nobelprijswinnaar Planck drukte dit uit op de volgende manier:

“ I regard Matter as derivative from Consciousness. We cannot get behind Consciousness. Everything that we talk about, everything that we regard as existing, postulates Consciousness “ …

Ik kom daar in een volgend hoofdstuk op terug in verband met de “Categorie theorie”, waar het niet zozeer over de objecten gaat maar wel over de eigenschappen van de morfismen ertussen en volgens mij goed aansluit bij “Consciousness” en dat vermoedelijk ook sterk bewust was bij de wiskundige Alexander Grothendieck …

(1) Niet te verwonderen dat sommigen uit die impasse willen geraken door middel van een

“ multiversumconcept “ …

De M-theorie deskundige Mishio Kaku “ schatte “ zelfs het aantal mogelijke universa op minstens 10⁵⁰⁰ … waaruit nogmaals de sympathie van sommige natuurkundigen voor zeer grote getallen blijkt, zelfs na het bestuderen van de relativiteitstheorieën van Einstein ...

Veel natuurkundigen hangen echter een formalisme aan, dat alleen een beschrijving wil geven met voorbijgaan aan de vraag naar een feitelijke aard van de ( of beter, een ) onderliggende natuurlijke werkelijkheid … zie Wikipedia.

(2) De eigenschap associativiteit van een bewerking, voorgesteld door “.”, ontstaat als het van geen belang is hoe we drie, of meer elementen samenstellen. Stel bijvoorbeeld drie elementen a, b, c samenstellen ( in die volgorde ) dan wordt de associativiteit uitgedrukt door

{ a.b }. c = a. { b.c }

d.w.z. “ eerst a en b samenstellen en dat resultaat samenstellen met c zal altijd gelijk zijn aan a samengesteld met het resultaat van de samenstelling van b met c “…

Merk op dat de bewerking optelling en vermenigvuldiging van breuken associatief is maar aftrekking en deling ervan niet …

Niet-associativiteit kan ook “geïllustreerd” worden aan de hand van de bewerking “+” bij oneindige sommen:

Beschouw de oneindige som

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1 ) + 1 + (-1) + ….

dan is blijkbaar, enerzijds

{1 + (-1)} + {1 + (-1)} + {1 + (-1 )} + {1 + (-1)} + ….

= 0 + 0 + 0 + 0 + …

= 0

maar anderzijds,

1 + {(-1) + 1} + {(-1) + 1} + {(-1 ) + 1} + {(-1) + ….

= 1 + 0 + 0 + 0 + ….

= 1

Dus, er is hier geen associativiteit.

Zoals reeds vermeld is het produkt van oneindige matrices over bekende velden ook niet-associatief en wellicht één van de redenen waarom kwantumfysici zich beperken tot eindige matrices, die zich wel associatief gedragen en aldus sommige kwantumverschijnselen enkel “benaderend verklaren” …

Niet te verwonderen dat ze daarmee ook “ singulariteiten “ creëren …

Het zou mij niet verbazen dat Plato “zwarte gaten” zou laten behoren bij niet-associatieve en niet von Neumann reguliere “vormen” van “dingen” in de Werkelijkheid …

Laten we daarover wat nadenken in het volgende hoofdstuk.